摘要
量子群由Drinfel’d和Jimbo在研究量子Yang-Baxter方程和二维可解格模型时提出的,它提供了三维流形及其Link的不变量(扭结理论,低维拓扑学),提供了量子力学系统的量子对称性的一种描述工具,量子群具有十分丰富的理论内涵和广泛的应用范围. 本学位论文研究了对应于单李超代数osp(1｜2n)的双参数弱Hopf超代数()()dr,s(osp(1｜2n))的结构,以及用Young表的语言刻画量子包络超代数Uq(osp(1|2n))的有限维既约模的晶体基；我们引入量子超群OSP(1|2n)上量子超行列式的概念并讨论了它的性质.论文的研究内容有以下几个方面: 首先对应于双参数Hopf超代数Ur,s(osp(1|2n)),我们构造了双参数弱Hopf超代数()()dr,s(osp(1|2n))；证明Ur,s(osp(1|2n))至Ur-1,s-1(osp(1|2n))之间存在Lusztig对称子,然后给出Ur,s(osp(1|2n))的PBW基,这些结论是经典量子群的Lusztig对称子理论的自然而不平凡地推广.进一步我们给出了双参数弱Hopf超代数()()dr,s(osp(1|2n))的PBW基. 其次我们用广义young表的语言描述有限维既约Uq(osp(1|2n))-模的张量积的晶体图,证明最高权为λ的有限维既约Uq(osp(1|2n))-模L(λ)对应一个(广义)Young图Y,模L(λ)的晶体基可由满足一定条件的型为Y的半标准表组成的集合B(Y)来标定,我们精确地得到了张量积分解的广义Littlewood-Richardson法则. 最后我们研究了量子超群OSPq(1|2n)的量子超行列式.单李超代数osp(1|2n)的量子坐标超代数OSPq(1|2n),可以由满足二次关系的生成元Tij来刻画.设T是由这些生成元组成的矩阵(称为量子超矩阵),我们得到T的量子超行列式(sdetqT)的计算公式,发现量子超行列式与量子群SOq(2n+1)对应的量子行列式是完全不同的,证明了(sdetqT)是量子超群OSPq(1|2n)的中心元,类群元,并且(sdetqT)的平方等于1.
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