摘要
李代数与顶点代数之间存在着紧密的联系，通过李代数我们可以研究并得到一些顶点代数，而对顶点代数及其模的研究反过来又可以反映对应的李代数的模的一些性质。作为多重loop代数的泛中心扩张，toroidal代数是仿射Kac-Moody代数的自然推广，它的定义最早由Moody等在文章[1]中给出，随后一系列文章对其结构和表示理论进行了研究（[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，[7]，[8]等），文章[9]还引进并研究了toroidal顶点代数的概念，将toroidal李代数的限制模与toroidal顶点代数及其模联系了起来。同时，toroidal代数作为一类典型的高维仿射李代数(EALA)，研究它的表示理论对于进一步研究高维仿射李代数的表示有着重要的作用和意义（[10]，[11]等）。顶点代数，作为一类新的代数结构，由Borcherds在1980年代给出具体的数学定义([12])，此后得到了广泛的关注和研究，它在数学和物理研究中都具有重要的意义（[13]，[14]，[15]等）。在顶点代数理论中，如何把无穷维李代数与顶点代数联系起来是一个有趣的问题。 设g是一个有限维单李代数，<·，·>是g上的Killing型。r是一个正整数，C[t±11,…，t±1r]是关于r个交换变量的Laurent多项式环。对(m)=(m1，…，mr)∈Zr，我们记t(m)=tm11…tmrr，定义toroidal李代数T=(g(⊕)C[t0，t0-1]⊕CK0)(⊕)C[t±11，…，t±1r]⊕r∑i=1CKi，李关系为[a(⊕)tn00t(n),b(⊕)tm00t(m)]=[a，b](⊕)tn00+m0t(n)+(m)+n0<a，b>δn0+m0，0K0(⊕)t(n)+(m)+<a，b>δn0+m0，0δ(n)+(m)，0r∑i=1niKi，其中a，b∈g，n0，m0∈Z，(n)，(m)∈Zr，K0(⊕)t(m)及Ki，i=1，…，r，为中心元。 易见，当r=0时，它即为一个仿射李代数(g)=g(⊕)C[t，t-1]⊕Ck。令(g)=g(⊕)C[t，t-1]⊕Ck⊕Cd，其中d为(g)的度导子。关于仿射李代数(g)，Chari等对其表示理论作了一系列的研究（如[16]，[17]，[18]等）。在文章[16]中，Chari给出了(g)的权空间有限维不可约可积模的分类。她指出其权空间有限维的不可约可积模分为三类:高权模、低权模和一类level为零（即中心作用为零）的模(loop模)。在文章[17]中，她和Pressly考虑了(g)的不同类模的张量积，得到了一类新的权空间为无限维的模。鉴于此，李海生在文章[19]中给出了这一类张量积模的典范刻画，用形式变量的方式定义并研究了关于仿射李代数(g)的两类模范畴ε以及c，其中范畴c包含了(g)的高权模、赋值模、以及它们的张量积模，此外他还给出了这两类范畴中的不可约可积模的分类。 对于toroidal李代数τ，Rao在文章[8]中给出了它的权空间有限维的不可约可积模的构造和分类，分类结果为两类取决于中心作用的赋值模。当所有中心作用平凡时，为由有限维单李代数的有限维不可约模得到的赋值模。当中心作用非平凡时，它是由仿射李代数的不可约可积高权模得到的赋值模。本文第二章中，我们通过形式变量的方式定义并研究了τ的几类模范畴，给出了它们的不可约可积模的分类。我们将看到对于τ的模范畴的研究与仿射李代数的情形不尽相同。 在顶点代数理论部分，我们从李代数的角度出发去构造并研究顶点代数及其模。我们这里所研究的q-Virasoro代数最早在文章[20]中给出，后来Nigro在用自由fermions场来研究Virasoro代数的一种新的q形变时也引进并实现了这类q-Virasoro代数([21])，我们记之为D，其中q为非零复数。从q-Virasoro代数的李关系出发，我们得到一类新的李代数，其诱导模上有一个顶点代数结构。我们证明了这个顶点代数的相应模与q-Virasoro代数的限制模之间有一个一一对应。q-Virasoro代数D，由元素c和Dα(n)(α，n∈Z)生成，满足关系D-α(n)=-Dα(n)，[Dα(n)，Dβ(m)]=（q-q-1）[αm-βn]qDα+β(m+n)-（q-q-1）[αm+βn]qDα-β（m+n）+（[m]qα+β-[m]qα-β）δm+n，0c，其中m，n，α，β∈Z，c是一个中心元，[n]q为q-整数，定义为[n]q=q-n-qn/q-1-q. 由于D的生成元与李关系都与变量q有关，故我们将q的情况分成两种来考虑。在第三章中，我们考虑了当q为非单位根时，D的限制模与顶点代数的相应模的联系。第四章中，对q是奇次单位根的情形做同样的考虑。
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