考虑Gauss-Markoff模型 Y=Xβ+ε E(ε)=0,cov(ε)=σ2∑ (1)其中Y为n×1的观察向量,X为n×p的设计阵,其秩r(x)≤p,β为p×1的未知参数,ε为n×1的随机向量,σ2是未知参数,∑为n×n的协方差阵。 对于r=p,∑为正定的情况,文献[3],[9]分别利用矩阵迹和最小特征根的比给出了最小二乘估计(LSE)相对于最佳线性无偏估计(BLUE)的两种相对效率,并研究了其下界与广义相关系数的关系。 当r＜p,∑为非负定阵时,这时模型(1)为广义线性模型。根据印度统计学家Rao.C.R于1991年建立起来的最小二乘估计统一理论,我们可以得到β的BLUE.这β*=(X′T+X)+X′T+Y这里A+是A的Moore-penrse广义逆,T=∑+X′UX,U为对称阵,满足r(T)=r(∑(:)X),其协方差阵为 cov(β*)=(X′T+X)+X′T+∑T+X(X′T+X)+·σ2 (2) 本文中取U=kI,k＞0.而β的LSEβ^=(X′X)+X′Y.其协方差阵为 cov(β^)=(X′X)+X′∑(X′X)·σ2 (3) 由Gauss-Markoff定理知,cov(β^)≥cov(β*),在实际应用中较常见的情况是∑未知或者不够清楚,因此常用最小二乘估计β^来代替β*,但因此将给估计精度带来一些损失。相对效率就是度量用β^代替β*所造成的损失的一种重要方法。王洁利用Euclid范数定义的相对效率并研究了它的下界.其定义为e(β^)=‖cov(β*)‖F/‖cov(β^)‖F,‖A‖F表示A的Euclid范数,‖A‖F=[tr(A′A)]1/2,本文在奇异线形模型仍然利用参考文献[3][9]给出相对效率,并对对相对效率的下界进行了研究,随后还推广了文献[5]中利用欧几里德(Euclid)范数所定义的相对效率并研究了它的下界.这三种相对效率如下 e1(β^)=tr(cov(β*))/tr(cov^(β)),e2(β^)=minλi(cov(β*))/λi(cov^(β)),e3(β^)=(tr(cov(β*)))1/q/(tr(cov^(β)))1/q,其中λ1≥λ2≥…≥λp＞0,μ1≥μ2≥…≥μp＞0分别为cov(β*),cov(β^)的非零特征根。而e3(β^)式对文献[5]中王洁利用Euclid范数定义的相对效率的推广。此外,本文最后还研究了几种相对效率之间的关系以及它们的下界与广义相关系数的关系。其中还指出所定义的相对效率的合理性及其优缺点。
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