摘要
薄板是一种很重要的工程结构形式,广泛应用于土木工程,海洋工程,航空航天以及机械工程等多个领域,工程中许多问题都可以归结为薄板的弯曲问题,因而研究薄板的弯曲具有很重要的研究价值。对常规的二阶问题,有限元等数值方法是非常有效的分析手段,但是板单元要求单元交界面上要保持c1类连续性,满足这种要求的单元是很难构造的,于是人们开始构造并不完全满足c1类连续条件的非协调元。遗憾的是,有限元在处理此类问题时,对单元的规则要求非常严,而且精度不是很高,这使得有限元在处理大部分不是规则物理边界的薄板弯曲问题失效。因此,如何需求一种适用任何边界、高效、快速收敛的数值方法是一个很有实用价值的研究课题。 数值流形方法(NMM)是一种广义高精度的数值计算方法,它采用了两套分开且相互独立的数学网格和物理网格组成的有限覆盖系统进行数值计算。固定的数学网格能简化网格划分和避免网格畸变,提高覆盖函数的阶次有利于提高数值解的精度。相比有限元法、无网格法,在边界处理、数值解精度上有明显优点。 对于高阶NMM,覆盖位移函数可以看作是某点的泰勒展开。基于此泰勒展式,建立了位移函数与节点位移和应变之间的函数关系,使得升阶后的各个广义自由度都具有明确的物理意义。采取矩形格子作为数学网格,在结构求解区域的不同地方混合使用不同阶次的覆盖位移场函数来提高解题效率,该方法简化了物理和数学网格,使前后处理变得更简单,同时也提高了计算精度。 考虑到NMM总是用最佳质量的数学网格来进行逼近,本文尝试用NMM来解决板单元的网格依赖问题。基于板的最小势能原理,提出了适用于NMM的混合变分提法,然后利用有解析解的椭圆板、矩形方板问题对方法进行了验证。 本文的研究表明:NMM不仅能够分析二阶偏微分方程的边值问题,而且在求解四阶偏微分方程边值问题时也很有效该方法。具有计算精度高、收敛速度快等特点。适合求解各种复杂形状、复杂边界条件薄板弯曲问题,可以用其解决各种工程实际问题。
NETL