摘要
二阶抛物型偏微分方程的解可以视为随机微分方程解的泛函,这一解释在偏微分方程理论和随机微分方程理论中有许多重要应用,譬如大偏差、最优控制论、鞅问题、变分和拟变分不等式等等.本篇论文主要研究了二阶拟线性偏微分方程的概率解法,并重点研究了这类方程在Sobolev空间中的适定性问题. 本篇博士论文共分为五章,概述如下: 第一章简要阐述了偏微分方程概率解法的发展历程,着重阐述了概率解法在二阶拟线性偏微分方程中的推广应用和研究现状.在分析这些工作的基础上,确定了在Sobolev空间中讨论二阶拟线性偏微分方程适定性的研究思路. 第二章简要阐述了与本文研究内容所密切相关的一些基本概念和引理,如Sobolev空间、随机流、随机分析和Malliavin变分学等. 第三章研究了二阶拟线性抛物型偏微分方程的概率解法.针对二阶拟线性抛物型偏微分方程的初值问题,通过反转时间变量,考虑它与随机微分方程的联系及其解的概率表示,在系数无有界限定且属于k阶可微连续函数空间的条件下,证明了当初值属于Sobolev空间Wk,p(k>3)时,方程局部解的存在唯一性;又在扩散项系数为常数且非退化的情形下,对外力项附加一定的条件,证明了解的全局存在性;并利用消失粘性方法给出了本研究结果的一个应用,建立了一阶拟线性双曲型偏微分方程在Sobolev空间中的解的局部存在性结果,并给出了解的收敛速率,由于此种情况的扩散项仍为常数,对外力项附加同样的条件,又得到了解的全局存在性结果. 第四章基于二阶拟线性抛物型偏微分方程与随机微分方程的联系,进一步建立了拟线性偏积分微分方程的局部解在Sobolev空间中的适定性结论.借助Friedman的相关理论和由Brown运动与纯跳L′evy过程驱动的随机微分方程理论建立了解的概率表示公式,在系数无界光滑,初值属于Sobolev空间的条件下,证明了解的局部存在性;但由于由Brown运动与纯跳L′evy过程驱动的随机微分方程建立的Bismut公式仅仅能得到指数型估计,而得不到线性估计,致使解的全局存在性证明存在一些困难,本文没有相关的尝试和结论;作为本部分结果的一个简单应用,建立了一类仅由纯跳Lévy过程驱动的随机微分方程和一类拟线性偏积分微分方程的可解性结果. 第五章总结了本文得到的研究结果,并对本文的研究内容作以拓展和延伸.
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