摘要
本文考虑了分数阶偏微分方程解的存在性，唯一性以及稳定性.首先考虑了非线性分数阶扩散方程c0(e)αtu(x,t)=△u(x,t)+f(t,x,u),(x，t)∈Ω×(0,∞),(1)u(x，0)=u0（x），x∈Ω，(2)边界条件分别为(e)u/(e)v=0，(x，t）∈(e)Ω×(0，∞)(3)和u（x，t)=0，（x，t）∈(e)Ω×(0，∞).(4)证明了方程(1)-(2)-(3)和(1)-(2)-(4)经典解的全局存在唯一性和稳定性.其次本文考虑了线性分数阶偏微分方程c0(e)αtu-n∑i,j=1（aij(x)uxi)xj+n∑i=1bi(x)uxi+c(x)u=f(x，t),(x,t)∈UT，(5)u(x，t)=0,(x,t)∈(e)U×(0,T],(6)u(x,0)=g(x)，x∈U.(7)证明了方程(5)-(6)-(7)弱解的存在唯一性. 本文布局如下. 第一章主要介绍分数阶微分方程的研究背景及现状，分数阶微积分的预备知识和本文研究的主要内容. 第二章主要考虑一类具有Dirichlet边界条件和Neumann边界条件的非线性分数阶扩散方程,即研究方程(1)-(2)-(3)和(1)-(2)-(4).首先给出了该类方程经典解全局存在性和唯一性的结论;利用Lyapunov函数法，证明了方程(1)-(2)-(3)解的稳定性;利用椭圆方程的特征值和特征函数的性质，证明了方程(1)-(2)-(4)解的稳定性. 第三章主要考虑一类线性分数阶偏微分方程(5)-(6)-(7)弱解的存在性和唯一性.主要用到了Galerkin逼近、能量估计、分数阶分部积分公式、分数阶Gronwall不等式.
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