摘要
图谱理论和电阻距离是图论中的重要分支，在计算机科学、通信、物理、量子化学、生命科学等领域应用广泛。设M是n×n阶矩阵， In是与M同阶的单位矩阵，则M的特征多项式定义为：ψ(M,x) det（xIn-M)。图的谱是指图的相关矩阵的所有特征根及其重数的集合。设图G有n个顶点，矩阵A、D、L、Q、L%分别是图G的邻接矩阵、度矩阵、Laplacian矩阵、signless Laplacian矩阵以及规范化Laplacian矩阵，图的广义特征多项式定义为：φ(x,t) det(xIn-(A-tD))。当t=0时，有ψ（A, x)=φ（x,0)；t=1时，有ψ（L, x)=(-1)∣V∣φ(-x,1)；t=-1时，有ψ(Q, x)=φ（x,-1)；t=-x+1时，有ψ（L%, x)=(-1)∣V∣φ(0,-x+1)/det(D)。广义特征多项式将邻接特征多项式、Laplacian 特征多项式、signless Laplacian 特征多项式以及规范化 Laplacian特征多项式整合在一起，从而降低了计算工作量。 图G中的边用一个有效的单位电阻来代替，构造出相应的电网络，电网络中任意两点间的有效电阻就表示图G中相应节点之间的电阻距离。电阻距离是定义在图中的一个距离度量，也是图的重要不变量，图中所有点对之间的电阻距离之和为图的Kirchhoff指数。 本文研究的几类图：由图G1和图G2得到的边剖分点冠图G1∨G2、边剖分边冠图G1(A)G2、点剖分联图G1▽G2、边剖分联图G1◇G2。通过图的广义矩阵得到图的广义特征多项式，进而求得边剖分点冠图G1∨G2和边剖分边冠图G1(A)G2的各类谱。解决了这几类复杂图难于求谱的问题，同时给出了点剖分联图G1▽G2、边剖分联图G1◇G2的电阻距离。作为应用，计算了图的生成树数目、Kirchhoff指数，求得了几类能量。本文的主要成果如下： (1) 给出了边剖分点冠图G1∨G2、边剖分边冠图G1(A)G2的广义特征多项式、邻接特征多项式、Laplacian 特征多项式、signless Laplacian 特征多项式、规范化Laplacian特征多项式及各类谱； (2) 给出了边剖分点冠图 G1∨G2、边剖分边冠图G1(A)G2的几类能量公式、Kirchhoff指数、生成树数目以及广义同谱图； (3) 给出了点剖分联图G1▽G2和边剖分联图G1◇G2的任意两点之间的电阻距离计算公式和Kirchhoff指数，并给出了点剖分联图P3▽P2和边剖分联图C3◇P2的广义逆矩阵和电阻距离矩阵。
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