摘要
分数阶微分方程是整数阶微分方程的延续与拓展,分数阶微积分与整数阶微积分是统一的. 但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微分方程就不再方便可行.近几十年间,分数阶微分方程理论得到了不断发展和完善,同时越来越多的人将其应用在分数物理学、混沌与湍流、粘弹性力学与非牛顿流体力学、高分子材料的解链等不同的领域.在数学领域中,越来越多的学者对其有了更深一步的研究,其中分数阶微分方程正解的存在性就是一个很重要的研究方向. 本文主要研究几类分数阶微分方程正解的存在性,一共四章. 第一章为绪论,主要介绍研究分数阶微分方程所用到的一些定义,引理,定理. 第二章考虑带有积分边界条件的分数阶半正的微分方程正解的存在性问题{Dβ0+u(t)+λ1f (t，v(t))=0，0＜t＜1,λ1＞0，Dβ0+v(t)+λ2g(t，u(t))=0，0＜t＜1,λ2＞0，u(j)(0)=0=v(j)(0)=0，j=0，1，2,…，n?2，(1.1.1) u(i)(1)=η∫μ0l(t)u(t)dt，v(i)(1)=η∫μ0 l(t)v(t)dt,本章根据格林函数的性质，利用Leray?Schauder二择一定理,锥拉伸压缩不动点定理得到正解的存在性. 第三章考虑带有参数积分边值条件的分数阶微分方程正解的唯一性的问题{Dα0+u(t)+λf(t，v(t))=0，0＜t＜1,λ＞0，Dα0+v(t)+λg(t，u(t))=0，0＜t＜1,λ＞0，u(j)(0)=0=v(j)(0)=0，j=0，1，2,…，n?2，(2.1.1) u(1)=η∫μ0u(s)ds，v(1)=η∫μ0v(s)ds,本章根据格林函数的性质,利用不动点定理得到正解的唯一性. 第四章考虑带有积分边界条件的分数阶微分方程正解的存在性问题{Dα0+u(t)+q(t)f (t，u(t))=0，t∈(0，1)，u(0)=u′(0)=u′′(0)=…=u(n?2)(0)=0，(3.1.1) u(i)(1)=∫10u(s)ds,本章通过高度函数利用Guo?Krasnosel′skii不动点定理得到正解的存在性.
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