摘要
分数阶微积分的非局部性质为描述不同物质的继承性提供了有力工具.最近十年，其理论广泛应用于数学、物理、化学、生物、控制理论、图像处理、环境科学、金融等领域.分数阶问题的数值方法和数值分析也越来越多地引起国内外学者的关注.本文应用谱方法研究了几类分数阶偏微分方程的数值解. 本文的主要内容包括三个部分. 1.应用Gegenbauer谱方法研究非线性分数阶反应-护散方程的数值解.根据分数阶微积分的定义推导移位Gegenbauer多项式的分数阶微分矩阵.利用Runge-Kutta方法离散时间方向，移位Gegenbauer多项式逼近2间方向，建立非线性分数阶反应-扩散方程的离散格式.在Lipschitz条件下，分析离散格式的误差上界，讨论移位Gegenbauer多项式参数对于数值误差的影响.数值例子验证相关结论. 2.应用傅里叶谱方法研究分数阶Schrodinger方程的数值解.引入分数阶索波列夫空间，建立分数阶Schrodinger方程的弱形式和傅里叶谱方法的半离散格式.定义方程解的质量和能量守恒公式，证明半离散格式的守恒性质.给出时间步长自适应调整策略，在固定步长和可变步长情况下，分別求解一、ニ、三维分数阶Schr6dinger方程的数值解，验证算法的有效性.此外，通过数值结果发现，时间步长自适应策略比固定步长节省近一半CPU时间. 3.应用Crank-NicolsonLegendre谱方法研究非线性变阶分数阶反应-扩散方程的数值解.根据变阶分数阶导数的定义推导移位Legendre多项式的变阶分数阶微分形式.Crank-Nicolson方法离散时间方向，移位Legendre多项式逼近空间方向，给出变阶分数阶反应-扩散方程的离散格式.分析离散格式的稳定性和收敛性.最后，通过数值实验验证相关结论和方法的有效性.
NETL