摘要
随着科技的发展及大数据时代的到来，越来越多的实际应用领域中需要用张量去描述一些数据问题，比如计算机可视化、信号处理、量子纠缠、自动化控制、统计数据分析、高阶马尔科夫链、超图谱理论、机器学习、医学影像等。为探求这些数据蕴含的本质特征，往往需要对涉及的张量进行分解或特征值计算与分析。张量特征值问题已经成为多重线性代数的一个重要课题。本文主要是在张量广义特征对的框架下提出了几种快速算法并作了收敛性分析。一是计算张量广义特征对的自适应梯度法（AG），二是计算张量广义特征值互补问题的两种谱投影梯度法（SPG），三是带位移的缩放投影法（SSPA）。 论文主要研究张量广义特征对相关问题的算法，具体内容安排如下： 第一章是绪论部分，简单介绍了张量定义及其运算，以及张量的一些应用。 第二章，在算法设计之前给出一些必备的概念和结论。 第三章，本章将提出一种自适应梯度法（AG）来求解张量的广义特征对。它利用非精确梯度法改进了文献[23]提出的一种计算对称张量Z?特征值的序列子空间投影方法(SSPM)，并用于解决张量的广义特征对问题。并在一些合理的假设下建立它的全局收敛和线性收敛结果。最后，我们所做的数值实验显示我们的梯度法的有效性和优越性。 在第四章，我们将提出计算张量特征值互补问题（TEiCP）的两个谱投影梯度算法（SPG）。SPG的一个主要特征是沿搜索方向取BB步长。该方法在实践中比最速下降梯度法或投影梯度法效果更好。我们还提出了一种带位移的缩放投影法（SSPA），这是对原始SPA方法的一个很大的改进。最后的数值实验也显示我们所提出的方法是有效的。
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