摘要
本文研究一类带调和势的非线性薛定谔方程，iφt+φxx?ω2/4x2φ+k|φ|4φ=0,其中i=√?1表示虚数单位，φ=φ(t,x)是关于(t,x)∈R+×R的复值函数，ω,k∈R都是实参量。上述方程也称作Gross-Pitaevskii(GP)方程，它可以描述著名的玻色-爱因斯坦凝聚现象。由于玻色-爱因斯坦凝聚在量子力学中的重要性，所以有很多学者研究这个方程尤其是其精确解。鉴于这个方程的多样性和复杂性，求解方法的改进将产生出更多新的精确解，而不同的精确解对应于不同的物理现象。因此本文将进一步改进已有的求解方法，来得到上述方程新的精确解。 首先，应用一些新的变换通过低阶微分辅助方法求解该方程的精确解。本文通过一类新的行波变换将带调和势的非线性薛定谔方程变换为经典的非线性薛定谔方程，然后通过待定函数法把求精确解问题变为常微分方程的求解问题。接着，用低阶微分辅助方法求解该常微分方程的精确解，将求出的解顺次代回从而获得带调和势的非线性薛定谔方程的多个精确解。由于加进了新的行波变换，所以得出的这些精确是新的精确解。最后，对这些精确解进行数值仿真，并对仿真结果作了详细分析。 其次，应用行波变换通过用双曲函数法求解该方程的精确解。本文仍用上述行波变换把带调和势的非线性薛定谔方程转化为一类经典的非线性薛定谔方程。然后，通过待定函数法把GP方程精确解求解问题转化为常微分方程的求解问题。通过引入双曲三角函数sinh和cosh分两组情况讨论该常微分方程的解，再将得出的精确解顺次代回从而得到原方程的精确解。由于采用的新的变换应用到双曲函数法中，所以得到的精确解是新的精确解。最后，已对该方法得到的精确解进行了数值仿真并通过仿真对两种方法的优缺点进行了分析对比。
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