摘要
近年来,变时间分数阶微分方程被广泛用于复杂反常扩散过程的建模.由于变时间分数阶微积分具有历史依赖性与全域相关性,增加了偏微分方程特别是非线性问题数值计算的困难.时间方向直接离散格式通常计算存储量大,计算代价昂贵.因此,如何设计变时间分数阶问题的快速计算,具有重要的理论和应用价值. 本文将研究变时间分数阶微分方程的高效快速算法,并与直接计算方法相比较,说明算法设计的有效性.快速计算的基本思想是找到合适的指数和逼近分数阶算子中的核函数.首先,我们回顾了逼近核函数的几种方法,包括围线积分法,多极逼近法,拉盖尔-高斯求积法和梯形法则.数值算例说明梯形法则逼近效果相对最好.然后,我们将围线积分法和梯形法则推广至变阶核函数的逼近,并且通过数值实验说明了梯形法则长时间计算逼近精度上的优越性.最后,利用梯形法则给出了求解变时间分数阶微分方程的两种快速计算方法.一种是线性插值方法,一种是生成函数方法.这两种方法都是将逼近分数阶导数的离散卷积分为历史项和局部项两部分,对于局部项进行直接计算,历史项通过梯形法则进行快速计算.我们主要通过三类数值实验说明两种快速算法的有效性,即(1)时间分数阶Allen-Cahn方程;(2)变时间分数阶对流扩散方程;(3)变分数阶次扩散方程.实验结果表明,快速计算可以为变时间分数阶微分方程的求解提供高效方法.
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