摘要
椭圆方程是偏微分方程的一个重要分支,它不仅与数学、物理工程(气象学)联系紧密,而且在生物学、医学(超声图像)等方面也有着广泛的应用.在椭圆方程的理论研究中,方程解的存在性、唯一性、稳定性和正则性等是人们研究的热点.本文主要研究椭圆方程障碍问题在欧氏空间和微分流形空间中弱解和很弱解的正则性以及比较原理. 第一章绪论阐述了椭圆方程的应用背景以及近些年来的研究成果.从各向同性椭圆方程单边障碍问题的很弱解到各向同性椭圆方程双边障碍问题的很弱解,从各向异性椭圆方程边值问题的弱解到各向异性椭圆方程单边障碍问题的弱解,人们取得了很多成果.本文在已有结果的基础上,提出了待解决的问题并给出了研究方法. 第二章主要研究了一类拟线性椭圆方程?divA(x,▽u)=B(x,u,▽u)的双边障碍问题弱解的局部正则性.通过构建适合各向异性双边障碍问题的检验函数,使用各向异性的逆H(o)lder不等式和Sobolev不等式,得到了各向异性的非齐次拟线性椭圆方程双边障碍问题弱解的局部正则性. 第三章主要研究了齐次椭圆方程?div(A(x,u)Du)=0的单边障碍问题弱解的性质,其中A(x,u)是不连续的VMO系数.通过使用A-调和逼近方法和含有障碍函数的Caccipoli不等式,最后得到在A(x,u)为不连续系数时,各向同性齐次椭圆方程弱解的积分估计式. 第四章主要研究了非齐次椭圆方程?divA(x,▽u)=f(x,u)的很弱解的比较原理.通过使用McShane扩张引理构造Lipschitz连续检验函数,应用Sobolev嵌入定理,H(o)lder和Young不等式,得到各向同性椭圆方程很弱解的比较原理. 第五章主要研究了微分形式椭圆方程d*A(x,dω(x))=B(x,ω(x),dω(x))单边障碍问题很弱解的局部正则性,采用了微分形式下Hodge分解的方法,结合障碍问题的障碍函数构造适当的检验函数,使用逆H(o)lder不等式,得到了关于微分形式下椭圆方程单边障碍问题很弱解的局部正则性.
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