摘要
设μ为Rn中具有紧支撑的Borel概率测度，关于μ平方可积的函数构成Hilbert空间L2(μ)．μ被称为谱测度如果存在可数集Λ(c)Rn使得指数函数族EΛ:={e2πi(Λ,X)：λ∈Λ}构成L2(μ)的标准正交基，其中〈?，?〉为Rn中的标准内积．谱测度的研究是经典Fourier分析在一般测度上的推广，它对分形几何、小波分析、调和分析等领域的研究具有重要意义．Jorgensen和Pederson发现了第一个奇异非原子谱测度(四分Cantor测度μ1/4，{0，2})，这一惊人发现掀起了研究分形测度的谱性质的热潮．Strichartz首先研究了Moran测度的谱性质，将谱测度问题引入到一般的无穷Bernoulli卷积测度上，形成了新的数学研究热点，本文分为五章，主要研究Moran测度的存在性和谱性质． 在第一章，我们先简要介绍分形几何的发展历程和现状，然后对谱测度、分形测度的谱性质研究的背景与研究现状进行综述，最后列出论文的主要结果． 在第二章，我们给出论文中需要用到的一些预备知识．我们首先介绍无穷Bernoulli卷积和弱收敛的一些基础知识，随后介绍一些判定谱性质的基本定理和有关实数展开的一些定理． 在第三章，我们利用Levy定理以及Portmanteau定理，给出了Moran测度存在且具有紧支撑的几个等价条件，回答了安丽想等人在J．Funct.Anal.[85]上的一个猜测．通过证明卷积的Fourier变换的弱收敛性，我们给出了在infk≥1inf{p：p∈Pk}＞0的限制条件下Moran测度存在的充要条件，去掉限制条件，我们可以得到Moran测度存在的一个充分条件，此外，我们还给出了一些例子来说明我们的结论． 在第四章，我们主要研究压缩比的倒数为整数、数字集为等差整数集生成的Moran测度μ{bk}{Dk}为谱测度的充分条件，推广了[69]，[70]的结论．我们先证明和谐对的一个充要条件，利用和谐对构造了μ{bk}{Dk}的正交集，最后利用谱的判定定理证明正交集的完备性．我们给出了几个例子说明我们的结论， 在第五章，我们主要研究压缩比为实数、数字集为有限的等差整数集生成的Moran测度μρ，{Dk}为谱测度的必要条件，推广了[75]的结论，我们通过分析Fourier变换(μ)ρ，{Dk}的零点的性质，对正交集进行重新排序，得出压缩比ρ必须为整数的倒数．我们还给出了μρ，{Dk}为谱测度的充分条件．
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