摘要
不动点理论是一个历史悠久，而又充满新生活力的研究领域。因其高度的统一性和广泛的应用性，一直被众多国内外学者所青睐，现已成为数学分析中最活跃的研究领域之一。不动点问题的研究从最初空间之间的推广，再到改变映射类型和迭代方式去求不动点，使得不动点理论的内容日益丰富。 本文的主要内容是研究b-度量空间和矩形b-度量空间中的不动点问题。 首先，介绍了国内外学者近年来在不动点领域的研究成果以及不动点理论的发展现状，为本文的研究工作提供了背景知识和研究方向。 其次，在b-度量空间中，通过引入凸结构，定义了具备线性特征的b-凸度量空间，并在上述空间中引入Mann迭代格式，进而利用Mann迭代所生成的序列，证明了在一定条件下，一些压缩型映射在完备的b-凸度量空间中存在唯一的不动点。然后，定义了b-凸度量空间中弱T-稳定性的概念，并证明了Mann迭代序列是弱T-稳定的。进一步给出b-凸度量空间中Agrawal迭代格式，并利用Agrawal迭代序列给出非扩张集值映射的不动点存在性定理和不动点强收敛定理，并讨论了Agrawal迭代序列关于映射T的稳定性。最后，将结果应用到Fredholm线性积分方程解的存在性和唯一性的问题中。 最后，将上述部分结果推广到矩形b-度量空间，利用Mann迭代算法给出矩形b-凸度量空间的不动点定理，并证明了在一定条件下，一些压缩型映射的不动点问题是适定性的，并将结果应用到动态规划的问题中。
NETL