摘要
半定规划作为线性规划在非线性规划上的拓展，是数学规划的一个重要分支。半定规划的正式提出源于内点算法，回头追溯时才发现以前也有研究。半定规划广泛应用于组合优化、控制论、结构设计、统计学、信号处理等各个领域。在半定规划的的标准形式中，其决策变量通常是一个半正定矩阵，许多矩阵优化问题可以用半定规划来表示，这表明半定规划与矩阵优化联系紧密。本文主要研究了凸线性半定规划的对偶相关理论以及与Schur补有关的矩阵优化问题。 第一章，主要介绍半定规划的对偶理论及应用的发展历史和现状。 第二章，先研究了锥优化问题强锥对偶定理的新证明，第一个证明用到了凸集分离定理、线性不等式组的选择定理及弱锥对偶定理，第二个证明用到了凸优化的强对偶定理及Fenchel对偶。之后从锥优化问题出发结合正交补空间研究了锥优化的新形式及其对偶形式，并将这种形式推广到了半定规划，同时给出了最优性条件，文中也提供了证明。值得注意的是，在这个最优性条件的证明中没有直接用到有关凸的理论。 第三章，研究了半定规划在与Schur补有关的矩阵理论上的应用。研究了该问题的最优性条件，并利用锥优化强对偶定理给出了相关证明。随后利用该最优性条件研究了Schur补的单调性质和Schur补引理的新证明。
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