摘要
图G的ABC矩阵定义为?A(G)=(?aij)n×n,如果顶点vi与vj关联,则?aij=√(di+dj?2)/(didj);否则?aij=0.ABC矩阵是一种基于图G的ABC指数的赋权矩阵.2017年Estrada利用ABC矩阵的谱性质,研究了图的ABC能量,Estrada-ABC指数以及ABC谱半径与ABC指数之间的关系.于是希望对ABC谱有更多的研究,从而得到更多关于ABC谱与其它图的不变量之间的关系.另外,拉普拉斯矩阵中包含顶点的度,这个与图的结构相关的量.因此将ABC矩阵推广到拉普拉斯ABC矩阵并且研究其相关的性质,定义为?L(G)=?D(G)??A(G),这里?D(G)=(?dij)n×n是ABC对角矩阵,如果i=j,则?dij=√nj=1?aij;否则?dij=0.本文主要研究了图的ABC谱半径的上界以及拉普拉斯ABC谱的相关性质. 主要研究结果如下： 1.将ABC矩阵中的元素抽象为函数f(x,y)=√x+y-2/xy，通过研究函数的单调性以及利用两个Hermitian矩阵的偏序性,得到了一般图的与Randic指数以及边数m相关的ABC谱半径的上界,单圈图与最大度?相关的ABC谱半径的上界以及树T增加一条边使得ABC谱半径增加的一个条件.此外,应用Rayleigh商公式和对矩阵中元素放缩的方法,得到了一般图的ABC谱半径与最大度?和最小度δ相关的上界. 2.关于拉普拉斯ABC谱的研究,首先利用邻接矩阵与ABC矩阵的关系,完全确定了一些特殊图类的谱.接着应用最小多项式的定义和性质,对图G有t个不同拉普拉斯ABC特征值进行了刻画.另外,根据ABC指数的性质证明了次小拉普拉斯ABC特征值的上界.最后,通过对图的拉普拉斯ABC矩阵的划分以及利用商矩阵的谱性质,得到了最大的拉普拉斯ABC特征值与图G的控制数,独立数的关系,这也充分说明了拉普拉斯ABC矩阵的性质与图的结构特征是紧密相关的.
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