摘要
近似解的最优向后扰动误差界是判别算法的稳定性的标准，是衡量计算解质量的重要指标，因此，研究近似子空间问题的最优向后扰动误差界是数值线性代数和大规模科学与工程计算中一个非常重要的课题. 给定矩阵A和它的两个近似不变子空间x和y，双边不变子空间向后扰动问题是寻求范数尽可能小的扰动矩阵E，使得x和y分别是矩阵A+E和(A+E）H的不变子空间，著名的Kahan-Parlett-Jiang定理给出了该问题在一定条件下的最优向后扰动误差界，本质上，它给出了特征值问题近似解的后验误差界，为估计大规模非Hermitian矩阵的双边不变子空间计算解的质量提供了一个有力的工具，然而，由该定理确定的扰动误差界仅是局部最优，而不是全局最优的. 对于大规模非Hermitian矩阵的双边Krylov子空间问题，设x和y是矩阵A的双边近似Krylov子空间．Wu等人考虑了如何确定范数尽可能小的后向扰动矩阵E，使得x和y分别是矩阵A+E和(A+E）H的Krylov子空间，然而，由于所使用的两个基是双正交的，且将问题转化为拟最优问题，因此，他们的结果不是最优的. 最近，Farrell建立了低秩修正矩阵不同特征值个数的上界．Xu利用秩的不等式改进了Farrell的结果，这些结果可用于估计求解扰动线性方程组问题所需的Krylov迭代的次数，但我们发现在很多情况下他们的上界超过了矩阵的阶数，因此，寻求新的上界是有意义的. 我们将重新考虑上面的三个问题，本文的主要工作如下： 第一，获得了双边不变子空间问题的全局最优向后扰动误差界.主要思想是利用导数寻求最小值，为此，我们建立了新的矩阵微分公式，这个公式避免了不解析函数对复矩阵变量的微分问题，利用新的矩阵微分公式，我们给出了选定子空间x和y的基底Xm和Ym下的最优向后扰动误差矩阵E，并证明了最优向后扰动误差E的Frobenius范数与基底Xm和Ym的选择无关，也就是说，我们的结果实际上是全局最优向后扰动误差界，而Kahan-Parlett-Jiang定理仅是局部最优的，因此，我们的结果改进了Kahan-Parlett-Jiang定理，数值实验结果和我们的全局最优性相吻合. 第二，考虑了大规模非Hermitian矩阵双边Krylov子空间问题，关键的技巧也是利用函数对矩阵的微分，因涉及到长方形矩阵，我们提出了两个新的策略：一个是选择最优标准正交基代替Wu等人的双正交基，另一个是利用拉格朗日乘子法来选择最优的向后扰动矩阵E．为此，我们也建立了一个新的矩阵微分公式，数值实验表明我们的结果很大程度上改进了已有的结果. 第三，建立了低秩修正矩阵不同特征值个数的可达上界；给出了一些仅依赖于所讨论矩阵和低秩修正矩阵信息的先验上界.我们的上界改进了Farrell以及Xu的结果.另外，我们还研究了低秩修正矩阵的不同奇异值个数的上界.
NETL