摘要
从20世纪60年代开始,随着科学技术的飞速发展,非线性科学已被深入研究并广泛应用于各种自然学科,例如机械、化学工程、电机、能源、土木工程、光学科学、通信、生物学、自动控制、材料等方面，同时出现了许多非线性发展方程式(简写为NLEE).目前,非线性科学已经渐渐成为了一门非常重要的现代学科,它能够很好的折射客观世界的发展变化规律,诠释个体与个体之间的相互联系.对这些非线性科学现象进行建模,并寻求这些NLEE的精确解也变得越发重要.为了获得解析解,近几十年来,很多求解NLEE的有效方法逐渐被研究者们得到和发展.本文基于双线性方法,研究了高维非线性发展方程的几类精确解,即通过求解NLEE所对应的双线性方程,构造方程的呼吸解、周期波解、有理解、高阶lump-type解及其相互作用解,并且利用图形分析了其几何性态、动力学特性和物理意义.具体内容如下： 第一章,着重介绍了本文所用到的Hirota双线性方法和广义双线性方法,并且叙述了呼吸解、有理解、lump解及其相互作用解的研究现状和发展方向. 第二章,基于广义双线性方法给出了(2+1)维广义Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的广义双线性方程,并利用Maple计算软件获得了方程的呼吸解、周期波解、有理函数解,并在此基础上进一步讨论了方程的这些解. 第三章,首先基于Hirota双线性方法得到了(2+1)维Hietarinta-type方程的双线性形式,接着运用符号计算软件Maple求得了该方程的呼吸解,并进一步分析了方程的高阶lump-type解. 第四章,借助符号计算软件Maple,基于广义双线性方法,计算得到了(2+1)维p-gBKP方程的呼吸解、高阶lump-type解及其与周期交叉扭结波解的相互作用解,并根据它们的三维图、等高线图和密度图,探讨了这些解的物理性质. 第五章,对本论文所研究的内容进行了系统的总结,也对之后需要进一步研究的工作进行了一些展望.
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