摘要
本文中，研究了两类非线性偏微分方程解的定性性质。比如，整体解的存在性与非存在性，解的爆破及爆破时间的上下界，以及解的渐近稳定性等。全文共分五章： 第0章介绍了非线性偏微分方程的研究意义及潜在应用价值，并简述了本文的主要研究内容和创新点。 第1章研究了具有时变系数吸收项和非线性边界流的抛物型方程解的爆破现象。利用修正微分不等式技巧，对时变系数和非线性项建立适当的条件，以保证解在高维空间中适当测度意义下整体存在性与有限时间爆破，并将导出爆破时间的上下界。同时，给出几个应用举例。 第2章考虑了非局部抛物型方程解的爆破分析。找到了时变系数及非线性项对解的整体存在性与爆破的影响并导出了爆破时间的上下界。同时，给出几个应用举例。 第3章讨论了一类非线性粘弹性波动方程的齐次Dirichlet初边值问题解的高能爆破现象。结合反证法与函数凸性，得到了问题具有任意正初始能量解的爆破条件。 第4章探讨了具有时变系数阻尼项和记忆项的半线性粘弹性波动方程Dirichlet初边值问题的渐近稳定性。当阻尼系数为积分正型、正-负型时，通过构造适当的新Lyapunov泛函及Lojasiewicz-Simon不等式，证明了在适当的条件下所有整体解收敛到稳态并给出了收敛速率。同时，当阻尼系数为开-关型、正-负型时，导出了能量的渐近稳定性。
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