摘要
目前求解非线性孤子方程(组)的精确解是应用数学和数学物理方面的重要研究内容之一,其应用广泛,主要应用于动力学、超导、气象学、非线性物理学、量子场论、通信等领域.在求非线性孤子方程(组)精确解的问题上,方法有多种,但在方法的选择上是一个很困难的问题. 本文基于Darboux变换法、Hirota双线性方法及符号计算系统MATHEMATI-CA,研究若干非线性偏微分方程(组).主要工作如下: 第一章,简要描述可积系统、孤立子理论、Darboux变换法、Hirota双线性方法和B?acklund变换法等理论所产生的背景、现状、意义以及研究方法. 第二章,研究耦合非局域非线性Schr?dinger方程组.通过构造其Darboux变换,得到该方程组的精确解及迭代公式,最后利用符号计算系统MATHEMATICA描绘出解的图像. 第三章,研究经典多分量Schr?dinger方程组.首先构造N分量的局域非线性Schr?dinger方程组的Darboux变换,得到该方程组的精确解及迭代公式;举例构造3分量的局域非线性Schr?dinger方程组的Darboux变换,得到该方程组的精确解及迭代公式,最后利用符号计算系统MATHEMATICA描绘出解的图像.其次又构造3分量的非局域非线性Schr?dinger方程组的Darboux变换,得到该方程组的精确解及迭代公式,最后利用符号计算系统MATHEMATICA描绘出解的图像. 第四章,研究Drinfeld-Sokolov-Wilson(DSW)系统.首先通过Bell多项式获得该系统的Hirota双线性形式,得到该系统的精确解,且利用符号计算系统MATHE-MATICA描绘出解的图像;其次通过该系统的Hirota双线性形式得到所对应的Lax方程. 第五章,对本篇论文所研究的内容进行总结,且对以后进一步需要研究的工作进行展望.
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