摘要
非线性演化方程的精确解对于研究实际问题中的非线性现象具有重要意义,因此在数学、力学、生物学、金融等多个领域都得到了广泛关注.带源项的非线性扩散方程是重要的生物、物理学模型,能够描述杂质在半导体中的扩散、细胞群之间的接触抑制等诸多重要的生物物理学现象,因此研究此类偏微分方程的精确解具有十分重要的意义. 本文将主要利用不变子空间方法得到带源项非线性扩散方程的精确解,并分别考虑含有Riemann-Liouville时间分数阶导数和经典整数阶导数这两种非线性扩散方程的情况.关键思想是利用由线性常微分方程定义的微分约束,得到所求的非线性偏微分方程的不变子空间,通过不变条件将偏微分方程的求解问题转化为求解常微分方程组的问题,因此只需求解对应的分数阶常微分方程组或整数阶常微分方程组即可获得非线性扩散方程的精确解. 具体研究内容包括： 首先,根据方程对应的不变子空间对分数阶非线性扩散方程或整数阶非线性扩散方程进行分类,从而分别求解五维、四维、三维、二维不变子空间下方程的精确解.其次,由不变条件得到方程中扩散项和源项函数的具体形式,并进一步得到解系数关于时间的(分数阶)常微分方程组.最后,求解(分数阶)常微分方程组得到对应的非线性扩散方程的精确解.
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