摘要
三角函数的幂级数展开式（清称割圆捷术）是清中叶至清末时期中算家研究的热点问题。18世纪中叶至19世纪中叶，我国数学家明安图、董祐诚、项名达、徐有壬、戴煦、李善兰等在清初传入的“杜氏三术”的刺激下，运用几何论证方法探讨了三角函数的幂级数展开式，形成了各具特色的研究体系。明安图于“杜氏三术”外新增六术，其成果被时人合称为“杜氏九术”，成为晚清学者研究三角函数的幂级数展开式的知识来源。微积分传入我国（1859年）后，夏鸾翔、杨之培、凌步芳、黄启明等人运用微积分方法重新推演前人关于三角函数的幂级数展开式的成果，推进了该领域的西化进程。其中，凌步芳（1849-1902，字仲孺，号贲南，广东番禺人）的《杜德美割圆捷术通义》是晚清时期少见的运用微积分、借径法、级数回求（今级数反演）、级数自乘等方法演算并推广“杜氏九术”的专著。 清代三角函数的幂级数展开式研究是当代学者研究晚清数学史的重要课题之一。但是，对于微积分传入我国（1859年）后，三角函数的幂级数展开式发展情况的研究，现有文献涉及不多，对于凌步芳及其《杜德美割圆捷术通义》的研究，更是鲜有。因此，本文采用文献法、比较法，探讨了《杜德美割圆捷术通义》中凌步芳如何运用微积分推演并推广“杜氏九术”，并比较了凌步芳与晚清时期运用微积分研究三角函数的幂级数展开式较为突出的学者夏鸾翔、杨之培、黄启明等人的成果。研究发现： （1）凌步芳的《杜德美割圆捷术通义》中运用微积分方法、借径法、级数自乘、级数回求方法将“杜氏九术”归结为“正弦求弧”一术，并根据“杜氏九术”推出了三十三新术，完善了杜氏级数研究体系。三十三新术主要是依据“杜氏九术”，由级数自乘和借径法推得，聚焦于完善周径互求、弧与八线互求、弦矢求弧幂问题，其中，第11、27、28、29、31、32、33术有误。全书在对幂级数展开式的表达上，既继承了董祐诚的递加语言，又吸收了李善兰的汉译符号系统。 （2）比较凌步芳与夏鸾翔、杨之培、黄启明等人关于三角函数的幂级数展开式的微积分解法发现，夏鸾翔主要运用逐项积分的方法。杨之培、黄启明先将麦克劳林公式改编成符合国人阅读习惯的新术、详法，再运用于三角函数的幂级数展开式的推证。蒋士栋直接收录《代微积拾级》、《微积溯源》相关内容，无个人见解和推广。凌步芳运用《微积溯源》中三角函数的幂级数展开式的推证方法，通过逐项积分和麦克劳林公式、泰勒公式进行演算。此外，他还阐明了用公式法所得（杜氏变式）与明安图等中算家所得（杜氏原术）之间的联系，展现了当时中、西方关于三角函数的幂级数展开式研究之间的异同。 （3）凌步芳对级数的收敛问题反应积极。《杜德美割圆捷术通义》下卷第九术“弧求余弦”提及级数的收敛速度问题，下卷第二十二、二十三、三十术涉及级数的收敛区间问题。其中，第二十二术中给出了反正切函数的幂级数展开式的收敛区间为[0,1]，第三十术中给出了正切函数的幂级数展开式的收敛区间为[0,π/4]。 总之，《杜德美割圆捷术通义》是见诸记载的晚清时期少见的综合中、西法研究三角函数的幂级展开式的专著。另外，与当时大多数侧重诠释《代微积拾级》、《微积溯源》的著作不同，它也是晚清少有的应用微积分著作。既反映了作者凌步芳的微积分水平，也反映了中西数学融合的特征，是考察晚清微积分等西方近代数学在中国传播与影响的典型案例。
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