摘要
投资问题一直是金融风险控制的热点话题。投资者在不同的效用函数下对风险市场和无风险市场进行资产配置，从而获得现金流和风险／回报特征，满足投资者的经济需求。许多研究人员利用HJB方程(Hamilton-Jacobi-Bellman)计算财富方程在不同的效用函数下解析解，这种计算方法是非常有效和可靠的。在计算过程中，我们发现在特殊效用函数下，不同的效用函数有不同的解析解，而在一般效用函数下，我们很难计算出解析解，所以这种方法不利于推广到一般效用函数。更重要的是现实中，不同的投资者有不同的风险偏好，这意味着效用函数也是不一样的，仅仅依靠解析解的方法进行计算需要耗费大量的时间。基于这个问题，我们提出了一种近似方法，对HJB方程进行逼近，使误差尽可能的小，从而得到近似最优投资策略，并且能够推广到一般效用函数。 本文，我们基于CEV方程的风险模型和无风险模型，建立了财富动态方程，并通过动态规划得到HJB方程。同时，我们认为价值函数与时间有关，所以想要找出价值函数与时间的关系。因此，我们将价值函数按时间级数展开，给出定义，并对效用函数进行近似，推导出近似解的表达式。为了验证近似方法的收敛性，选择特殊效用函数（幂效用函数和指数效用函数）计算出解析解与近似解进行比较分析，设置参数范围使效用函数满足风险厌恶效用函数的定义。在比较过程中，我们选取了上证指数反映股价的走势。我们采用马尔科夫链蒙特卡洛(MCMC)方法进行估计，主要是通过GARCH模型计算出CEV模型各参数的先验分布，再利用Openbugs软件通过Gibbs抽样得到各参数的估计值。 实证分析中，我们发现近似解的拟合效果非常好，总体趋势与解析解一致。同时，通过误差分析表，我们发现近似解和解析解在效用函数和投资策略方面的误差都很小。这表明这种近似方法是有效并且收敛的，因此我们认为基于时间的近似方法是值得推广和深入研究。
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