摘要
众所周知，在一元情形，第一类Chebyshev多项式与余弦三角函数是等价的，Chebyshev多项式的诸多性质如正交性、零点和极值点性质以及最小零偏差性质等都可以通过研究余弦函数获得，而这些性质又与数值积分和函数的最佳一致逼近密切相关，具有重要的研究意义。如何将这些结果推广到多元情形，孙家昶、李会元和Xu Yuan等诸多学者做了大量的研究工作。特别的，在文献[1，2,3]中，采用齐次坐标，基于多元单纯形上广义余弦函数性质的研究，给出了所谓曲单纯形上的Gauss-Lobatto型数值积分公式。本文主要考虑四面体和曲四面体上的数值积分的构造问题，以及曲四面体上的最小零偏差问题。 本文首先对四面体区域上的广义余弦函数的性质进行了深入研究，特别是广义余弦函数TC3n,-n,-n,-n的极值性质，基于其极值点，证明了广义余弦函数的一个重要的离散正交性质,并由此给出了四面体上具有n-1阶三角精确度的数值积分公式。接着，讨论了在广义余弦变换下，与四面体上的广义余弦函数等价的所谓曲四面体上的第一类广义Chebyshev多项式的有关性质，特别证明了Chebyshev多项式Tn0,0的极值性质，由此给出了曲四面体上代数多项式空间的两类交错点组，并证明了Tn0,0的最小零偏差性质。同时，还给出了曲四面体域上一类代数精度为n-1的数值积分公式。相对于文献[2，3]所给数值积分公式只提供奇数次代数精度，本文所给数值积分公式可提供任意次的代数精度，且对于代数精度3和5,本文所给公式用到的结点个数最少。
NETL