摘要
由于(Bi)Hom-型代数和李-Yamaguti着色代数在数学和物理中的双重应用,故其研究成为现代数学中的重要课题.本文旨在研究(Bi)Hom-型代数与李-Yamaguti着色代数的相关问题,包括匹配BiHom-Rota-Baxter代数的相关结构;BiHom-叶形(余)代数的上同调及形变;Hom-Leibniz超代数的α-型上同调和G-等变上同调及应用;李-Yamaguti着色代数的阿贝尔扩张,广义导子,Nijenhuis算子,着色O-算子和G-等变上同调等.具体工作如下: (1)研究匹配BiHom-Rota-Baxter代数和相关的代数结构.首先,引入匹配BiHom-结合代数、相容BiHom-结合代数、匹配BiHom-李代数、相容BiHom-李代数、匹配BiHom-预李代数、匹配BiHom-(三)叶形代数、匹配BiHom-Zinbiel代数、匹配BiHom-Rota-Baxter结合代数和匹配BiHom-Rota-Baxter李代数的概念,并研究它们的相关构造;进一步,研究它们范畴之间的联系.推广相应经典结论. (2)研究BiHom-叶形代数及余代数的上同调和形变.首先,给出BiHom-叶形代数的表示,并证明BiHom-叶形代数与表示空间的半直积是BiHom-叶形代数,且由BiHom-叶形代数的表示可以得到相应BiHom-结合代数的表示.其次,给出BiHom-叶形代数的上链空间,并得到相应的上同调群,建立BiHom-叶形代数的上同调与BiHom-结合代数的上同调之间的同态映射.作为应用,引入BiHom-叶形代数上的单参数形式形变,并得到两个形式形变等价的充分必要条件,以及BiHom-叶形代数为BiHom-分析刚性的充分条件,讨论n阶形变延拓n+1阶形变的问题.对偶地,研究BiHom-叶形余代数的上同调和单参数形式形变.最后,引入BiHom-Dend∞-代数和BiHom-A∞-代数上的Rota-Baxter算子的概念,并证明BiHom-Dend∞-代数可以视为BiHom-A∞-代数的一个分裂.反之,一个BiHom-A∞-代数上的Rota-Baxter算子自然给出一个BiHom-Dend∞-代数. (3)研究Hom-Leibniz超代数的α-型上同调和G-等变上同调.首先,给出Hom-Leibniz超代数的α-型上同调,它是已有文献中上同调的推广.作为其应用,引入Hom-Leibniz超代数的单参数形式形变,并讨论α-上同调控制其形式形变,定义Hom-Leibniz超代数的有限阶形变,并给出n阶形式形变延拓n+1阶形式形变的充要条件.给出两个形式形变等价的定义,并讨论等价形式形变的性质,得到Hom-Leibniz超代数为Hom-超分析刚性的充分条件.其次,引入有限群G对Hom-Leibniz超代数的群作用,给出具有群作用Hom-Leibniz超代数的双模的概念,并讨论它的G-等变上同调.最后,作为G-等变上同调的应用,讨论具有群作用Hom-Leibniz超代数的G-等变单参数形式形变,得到与非G-等变单参数形式形变类似的结论. (4)研究李-Yamaguti着色代数的阿贝尔扩张,广义导子,Nijenhuis算子,着色O-算子和G-等变上同调等.首先,给出李-Yamaguti着色代数的表示、伴随表示,并证明向量空间V是李-Yamaguti着色代数L的表示的充要条件是L与V的半直积也是李-Yamagut着色代数.讨论李-Yamaguti着色代数的上同调理论.作为应用,研究李-Yamaguti着色代数的阿贝尔扩张,证明与任何阿贝尔扩张相关联,都有一个表示和一个(2,3)-上循环.其次,引入李-Yamaguti着色代数的广义导子、拟导子、型心、拟型心、中心导子、中心等概念,并讨论它们之间的联系.给出李-Yamaguti着色代数的线性形变的概念并讨论它与李-Yamaguti着色代数的上同调的联系.通过平凡形变引入李-Yamaguti着色代数上的Nijenhuis算子,反之,它可以生成一个平凡形变.引入李-Yamaguti着色代数上关于其表示的着色O-算子和预李-Yamaguti着色代数的概念,并证明着色O-算子与半直积李-Yamaguti着色代数的着色Rota-Baxter算子、子代数或Nijenhuis算子等价.证明一个预李-Yamaguti着色代数给出一个李-Yamaguti着色代数和一个它自身上的一个表示.反过来,一个李-Yamaguti着色代数的着色O-算子自然给出一个预李-Yamaguti着色代数结构.最后,引入有限群G对李-Yamaguti着色代数的群作用,给出具有有限群G作用李-Yamaguti着色代数的G-等变上同调群.作为G-等变上同调的应用,讨论(2,3)-G-等变上同调群如何控制其G-等变单参数形式形变.
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