摘要
我们研究一个带逆平方势NLS方程i??tu+Δu+cu/|x|2+|u|pu=0驻波的稳定性.对于L2-次临界的情形，我们证明了任意驻波的轨道稳定性.对于L2-临界的情形,我们建立了驻波在λN/2(t)eiθ(t)u(λ(t)x,t)→Qω意义下的稳定性,这里λ(t),θ(t)是关于t的实值函数,Qω是定态方程-Δφ?cφ/|x|2+ωφ=|φ|pφ的基态解.我们证明了对于满足一定条件的初值u0,当infθ∈[0,2π)‖eiθu0-Qω‖H1→0时,方程的解u(x,t)满足‖λN/2(t)eiθ(t)u(λ(t)x,t)-Qω‖H1→0.这种稳定性结果提供了爆破解奇性形成的信息以及整体解在长时间的渐近行为.此外,我们对基态的奇性性质做了一个细致的分析.我们得到了一个基态在奇点附近的精确渐近表达式. 本文具体安排如下: 在第一章中,我们简要叙述方程的物理背景和研究现状,并且说明本文的主要工作. 在第二章中,通过讨论一些变分问题,我们研究基态的结构和变分特征. 在第三章中,我们研究两个算子L+ω,L-ω的核空间,并由此得到它们在一定条件下的正定性. 在第四章中,我们完成本文主要结果的证明. 在第五章中,总结全文并提出一些今后有待研究的问题.
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