摘要
量子力学是研究微观粒子运动规律的专门理论，自二十世纪创立以来，始终位居物理学的前沿领域。Schr?dinger方程是量子现象中最基本的动力学方程，各种带势的与不带势的非线性Schr?dinger方程构成了现代量子化理论的重要内容。因此关于非线性Schr?dinger方程的数学研究一直是数学物理领域的热门课题。 非线性Schr?dinger方程是典型的具有色散效应的波动方程，在物理学的许多分支中是一个非常通用的方程。当其色散效应与非线性效应的作用相互平衡时，即产生所谓的驻波。驻波的存在性是非线性Schr?dinger方程的典型特征，在其解的性质刻画中起着关键作用。从数学物理的研究角度出发，在数学上有无稳定的驻波解是判定非线性Schr?dinger方程的物理价值的一个重要标准，而带势的非线性Schr?dinger方程更为确切地反应了物理本质。因此以驻波解为主特征对带势的非线性Schr?dinger方程的动力学性质的研究是量子现象中的重要内容。 本文主要研究三类带势的非线性Schr?dinger方程爆破解的质量集中性质。三类方程分别是带部分调和势的非线性Schr?dinger方程、带反平方势的非线性Schr?dinger方程和带双势的非线性Schr?dinger方程。具体研究内容如下： 1.研究二维空间中带部分调和势的非线性Schr?dinger方程爆破解的质量集中性质。首先，通过不带势的非线性数量场方程基态解的变分特征与Hamilton守恒律，得到了带部分调和势的非线性Schr?dinger方程的解整体存在与爆破的最佳条件。其次，利用相关紧性理论与不带势的非线性数量场方程基态解的变分特征，证明了带部分调和势的非线性Schr?dinger方程爆破解的质量集中性质。最后，讨论了带部分调和势的非线性Schr?dinger方程爆破解的L2(R2)弱极限与具小超临界质量爆破解的极限图景。 2.研究带反平方势的非线性Schr?dinger方程爆破解的质量集中性质。根据带反平方势的非线性Schr?dinger方程临界质量爆破解的存在性与相关精细紧结果，全面地讨论了带反平方势的非线性Schr?dinger方程爆破解的质量集中性质。 3.研究带双势的非线性Schr?dinger方程爆破解的质量集中性质。首先，通过解变分问题得到了一个具有最佳常数的Gagliardo-Nirenberg不等式。其次，根据Gagliardo-Nirenberg不等式证明了带双势的非线性Schr?dinger方程解的整体存在性与驻波的不稳定性。最后，由H1(RN)空间中有界序列的Profile分解理论获得了相关紧性结果并利用此结果全面地讨论了带双势的非线性Schr?dinger方程爆破解的质量集中性质。 4.研究带双势的L2(RN)临界非线性Schr?dinger方程最小质量爆破解的存在性以及唯一性。根据带双势的非线性数量场方程基态解的变分特征与集中紧原理得到了新的紧性结果，并结合带双势的非线性Schr?dinger方程的拟共形变换与其相关对称性质，构造并验证了带双势的非线性Schr?dinger方程最小质量爆破解的存在唯一性。
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