摘要
本篇论文主要讨论了如下带有记忆项的非线性发展方程ut-εΔut-Δu-∫∞0k(s)Δu(t-s)ds+f(u)=g,在不同相空间中吸引子的存在性与正则性，其中ε为扰动参数. 首先，我们提出了双积空间压缩半群的概念，并根据压缩半群的特性获得了一个判定非线性演化方程在双积空间中全局吸引子存在性的准则.作为应用，我们考虑了当ε=0时，上述系统在不同相空间中解的长时间行为.在这种情形下上述模型为带记忆项的反应扩散方程.为了克服记忆项及任意阶多项式指数增长的非线性项带来的困难，我们引入了一种新的算子分解技巧，需要指出的是，利用新的算子分解方法不仅可以获得整体弱解的渐近正则性，而且可以根据解的正则性构造双积空间压缩函数，并由此得到吸引子的存在性结果和正则性结果.主要结果如下: (i)使用压缩函数方法证明了解半群在积空间L2(Ω)×L2μ(R;H10(Ω))上的渐近紧性，由此得到了该空间中全局吸引子A0的存在性.当初值属于L2(Ω)×L2μ(R;H10(Ω))时，通过证明解半群在积空间Lp(Ω)×L2μ(R;H10(Ω))和H10(Ω）×L2μ（R;H10（Ω)）中的渐近紧性，从而得到了双积空间全局吸引子Ap和A的存在性; (ii)使用新的算子分解技巧，证明了解的渐近正则性，并得到了压缩函数，从而得到吸引子A的存在性以及正则性，即A(C)D(A)×L2μ(R;D(A));特别地，亦得到了三类吸引子之间的等价性关系，即A0=Ap=A. 其次，当ε=ε(t)为时间依赖的扰动参数时，我们将压缩函数方法推广到了时间依赖双积空间情形，由此给出了证明时间依赖积空间拉回D-吸引子存在性的一般准则;此外，为得到外力项仅属于低正则空间H-1(Ω)中解的渐近正则性，又给出了另外一种新的算子分解方法.作为应用，我们考虑了带ε(t)的记忆型非经典扩散方程解的长时间行为.具体结果如下: (i)使用Galerkin逼近方法得到了方程的适定性，进而通过时间依赖积空间压缩过程方法得到了时间依赖空间中拉回D-吸引子的存在性. （ii）使用两种新的算子分解方法，分别在g∈L2(Ω)但非线性项满足任意阶多项式增长的情形下以及g∈H-1(Ω)但非线性项满足临界指数增长的情形下，证明了解的渐近正则性，由此得到了吸引子的正则性. 最后，我们提出了一些与带记忆项扩散方程有关的新问题.
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