摘要
Su-Schrieffer-Heeger（SSH）模型是拓扑学研究中一类非常重要的模型。该模型结构简单，原胞内仅有两个原子。其特点是原子间有两种不同的跃迁几率——胞内跃迁几率与胞间跃迁几率。前者与后者之比从大于1变为小于1时，相应体系会在两端产生一对拓扑孤子态，这代表着模型本身的拓扑相变过程。该模型存在高维对应版本，它们由一维SSH链沿不同方向堆垛组成。大部分二维SSH模型具有与一维SSH链相似的拓扑性质，即当胞内跃迁几率小于胞间跃迁几率时会产生边缘态。对于某些模型还可能存在高阶拓扑性质，不仅存在一维的边缘态，还存在零维角态。本论文中，主要研究二维方形SSH模型的拓扑性质。具体内容为以下三点： 1.二维方形SSH模型 从一维SSH链出发，通过紧束缚近似，推导了二维方形SSH模型的动量空间哈密顿量。求解了动量空间本征值方程，得到了其色散关系与对应的态函数。构建了一组参数?和?，并以?和?为基准，作出二维方形SSH模型的相图。在相边界处，第二条能带和第三条能带间的简并点会打开，这可能是一拓扑相变过程。进一步计算了带隙打开前后的局域态密度和投影能带图，发现带隙打开后其内部会出现边缘态与角态，说明这一过程确实是一类拓扑相变。 2.极化与分数电荷的计算 尝试用旋转本征值（rotation eigenvalue）计算二维方形SSH模型的极化（polarization）。结果表明，若只考虑第一条能带的作用，胞内跃迁和胞间跃迁之比从大于1变为小于1时，对应方向的极化分量会发生突变。这对应了二维方形SSH模型第一条能带和第二条能带的拓扑相变。第二条能带和第三条能带的拓扑相变需要考虑前两条能带的作用，但计算结果显示极化各方向分量始终为0，这与前文计算结果相矛盾。尝试在动量空间哈密顿量中加入无限小在位能（onsite potential）来进行修正。在此基础上，重新运用willson loop法计算了模型的极化和电荷密度。极化计算结果证明，带隙打开前后极化确实会发生突变，且极化分布于模型边缘处。电荷密度计算结果显示，带隙打开后出现了分数角电荷（fractional charge），这是由于边缘上的极化破坏了电荷的均匀分布，属于异常填充（filling anomaly）现象。 3.声学模拟 构建了一种声学谐振腔模型，模型中谐振腔代表单个子晶格（sublattice），粗细不同的连接管道代表格点间不同的跃迁几率。找到了管道直径与跃迁几率的对应关系，以此为依据构建不同参数的二维SSH模型。在模型边界处分别添加周期性边界条件和自由边界条件，以计算带结构图与声压场分布图。声学模拟结果与数值计算结果相吻合，并在声压场分布图中看到了边缘态与角态，证明该模型很好地模拟了方形二维SSH模型的拓扑性质。
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