摘要
1979年，Kazhdan和Lusztig发表了“Representations of Coxeter groups and Hecke algebras”，这篇文章引起了极大的关注，40年的时间过去，它在代数群的表示理论和相关方向的发展中发挥重要作用，同时也开启了其他研究方向，形成了关于Coxeter群和Hecke代数的理论：Kazhdan-Lusztig理论。Coxeter群在各类域上的代数群的结构和表示，量子群等研究中起着关键作用，也是Lie代数不可或缺的一部分。 设G是代数闭域k上的简约代数群，比如一般线性群GLn(k)、特殊线性群SLn(k)、辛群Sp2n(k)和特殊正交群SOn(k)等。令T为G的一个极大环面，对上述所列的群，取T是由G中的对角矩阵所形成的群，那么T就是它的正规化子NG(T)的正规子群。称群W=NG(T)/T为G的Weyl群。当G是一般线性群或特殊线性群时，W就是对称群Sn。所有的代数群同态T→k*形成的群X=Hom(T,k*)称为T的特征标群，它是一个自由Abel群.称半直积（~W）=W×X为扩张仿射Weyl群。当G是伴随型的半单代数群时（如射影辛群PSP2n(k)、射影特殊正交群PSOn(k)等），群(~W)称为仿射Weyl群。Weyl群和仿射Weyl群都是Lie理论中重要的Coxeter群。1990年，James E.Humphreys总结和阐述了Coxeter系，有限Coxeter群和有限反射群之间的联系，并且给出了详细的描述。这篇文章主要在有限Coxeter群上讨论，将有限Coxeter群的生成集进行划分。 令(W,S)是有限Coxeter系，那么W是有限型的-.An,Bn,Dn,E6,E7,E8,F4,H3,H4,I2(m).我们将S分成m个无交的部分，S=T1∪T2∪…∪Tm,m≥2，满足：对任意的i∈{1,2,…,m},都有st=ts,s,t∈Ti。我们给出了S的一些划分，使得W''=〈W1，W2，…,wmgt;与某个有限Coxeter群同构，并且W''中的最长元恰好是W中的最长元，其中Wi是将Ti中所有元素相乘得到的。m=2的结论已经得到了证明（见定理1.3)。这篇论文研究m＞3的情况。 在第一章中，我们简要介绍了一些关于Coxeter群的相关概念，定义和定理，如Catan矩阵、Coxeter图、长度函数等。 在第二章中，我们得出：如果将生成集分成三个部分，那么会有四个划分满足条件，并且他们对应的W''都和B3同构（命题2.1.1-2.2.4): D4中三个，T1={1}，T2={3}T3={2,4}; T1={2},T2={3}，T3={1,4}; T1={4},T2={3}，T3={1,2}. A5中，T1={3},T2={2,4},T3={1,5}. 在第三章中得到了将生成集分成四个部分时的结论，有以下四个划分满足条件（见命题3.1): 在D5中，T1={1,2},T2={3},T3={4},T4={5}，W≌B4. 在E6中，T1={1,6},T2={3,5},T3={2},T4={4}，W''≌F4. 在E8中,T1={1,8},T2={3,7},T3={4,6},T4={2,5},W''≌H4. 在A7中,T1={1,7},T2={2,6},T3={3,5},T4={4},W''≌B4. 在第四章中，我们得出了更为一般的结论：对任意的m∈Z+,m＞5,都存在两个划分满足条件,一个在Dn中，n=m+1,另一个在An中，n=2m-1。
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