摘要
边值方法是求解常微分方程的一类有效数值方法，这类方法能够在保持良好稳定性情况下达到高精确度。边值方法的核心思想是把初值问题转化成离散边值问题，这种思想可以用来处理各种不同类型的微分方程，相应的数值方法可以保持边值方法的良好特性。本论文致力于边值方法的数值分析研究，所研究的对象包括扩散方程、分数阶常微分方程、分数阶延迟微分方程以及延迟微分代数方程等。在本文中，构造了这些方法的数值格式，并分析相应收敛性和稳定性等数值性质。本文的主要工作包括以下四个方面： 对于扩散方程的初边值问题，使用时间多层空间多层的全离散格式，建立了全离散边值方法。利用特征函数来分析相应的全离散格式，给出了局部截断误差阶数的等价条件。针对一般的全离散边值方法，考虑其具有边值方法类似的结构，得到了相应的稳定性和收敛性结论。 针对分数阶常微分方程初值问题，利用局部手法对分数阶导数进行近似，构造了分数阶广义向后差分公式。针对方法相关的Toeplitz矩阵，建立了相应矩阵逆的估计。利用这个估计，分析了方法的收敛性和稳定性，说明了方法可以具有高精确度并保持良好的稳定性。 考虑分数阶延迟微分方程初值问题，建立了相应的分数阶广义Adams方法。利用该方法对应的矩阵结构，详细分析了方法的收敛性。推广了分数阶常微分方程分数阶广义Adams方法的稳定性结果，并在此基础上，研究了分数阶延迟微分方程情形的数值稳定性，建立了两种情形方法数值稳定性之间的联系。 针对指标1和指标2两类非线性延迟微分代数方程初值问题，得到了相应块边值方法的一般形式，并给出了方法的收敛性分析。证明了在适当处理延迟项情况下，相应块边值方法的收敛阶与对应常微分方程情形的收敛阶是相同的。
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