摘要
本文主要研究移动热源问题的热传导过程.移动热源问题通常具有奇异性,物理方程的解会在局部区域内变化较大.作为一种求解物理问题的数值方法,无网格法与传统的有网格法不同,它采用基于节点的近似,可以彻底或部分地消除网格,在解决金属大变形等问题时,不需要网格的剖分,近年来受到了国内外学者的广泛关注.由于热源自身的奇异性,温度会在局部区域变化很大,要想很好地刻画这一区域内的温度分布,就需要在这一区域内分布更密的节点.移动网格方法作为一种自适应技术,已被应用于很多局部奇异问题.它可以在确保求解域内节点数量不变的前提下,采用某种策略使得节点自适应地在求解域内分布.本论文以带有移动高斯热源的热方程为例,基于加权最小二乘无网格法和移动网格方法的思想提出了移动加权最小二乘无网格法,即在加权最小二乘无网格法中添加自适应技术,使节点自适应地分布于求解域内,从而更好地表征热源在求解域内的温度分布情况.一维情况下,先是在求解域内运用移动网格方法获得一组自适应节点,之后在获得的自适应节点上运用加权最小二乘无网格法建立控制方程的离散系统.二维情况下则是在x方向和y方向上分别运用移动网格方法求得两组一维的自适应节点,然后用得到的两组一维节点来构造二维自适应节点,,最后在自适应节点上运用加权最小二乘无网格法对控制方程进行离散.数值实验表明所提出的移动加权最小二乘无网格法能够有效准确地模拟移动热源问题.相对于均匀节点,移动加权最小二乘无网格法可以通过某种策略使得节点集中于解变化较大的局部区域,从而更好地描述热源的温度分布. 全文共分为五章,第一章介绍了移动热源问题,加权最小二乘无网格法以及移动网格方法的研究背景与现状,本文的内容安排等.第二章对本文涉及到的方法进行了回顾,对于加权最小二乘无网格法,介绍了移动最小二乘近似及边界条件的处理等.对于移动网格方法,介绍了等分布原则,之后,还对移动网格偏微分方程和控制函数的相关知识进行了简述.第三章介绍了移动加权最小二乘无网格法以及它在一般物理问题中的应用.第四章给出了移动热源问题的介绍,包括热传导方程的推导过程以及几种不同类型的移动热源,并针对具体问题给出移动加权最小二乘无网格法的求解过程,最后模拟了一些数值算例.第五章对所研究的问题做出总结与展望.
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