摘要
外三角范畴由Nakaoka和Palu引入,它统一了正合范畴和三角范畴.本文主要考虑外三角范畴上的Frobenius对和相对分解维数. 本文假设C是具有足够多投射对象和内射对象的外三角范畴,X是C的子范畴.在第一部分中介绍了外三角范畴的一些概念和己有结果. 在第二部分的第一小节中,我们回忆了X-投射维数和X-内射维数,其次给出了对象和子范畴的YX-分解维数的概念.给定三个子范畴X,Y,Z,我们证明了若Z是扩张封闭的,则Z中对象的X-内射维数与YZ-分解维数的差距不超过子范畴Y∩Z的X-内射维数.接着我们引入了(左、右)X-完备对和X-遗传对的概念.作为本节的主要结论,我们证明了:若(1)A,X,B关于扩张、直和项封闭,(2)(A,B)是C中的X-完备对,(3)(A,B)是X-遗传对,则(A,B)的X-心ω:=A∩B∩X既是A∩X中的余生成子和A∩X-内射子范畴,也是B∩X中的生成子和B∩X-投射子范畴.同时,X中具有有限AX-分解维数的对象的下列维数均相等:(ⅰ)B∩X-投射维数,(ⅱ)ω-投射维数,(ⅲ)AX-分解维数,(ⅳ)A∩X-分解维数,对偶版本亦成立.在第二小节中,我们证明了在上述(1)-(3)条件下,(A,B)的X-心ω有六种不同的实现方式.证明了子范畴A∩X的下列维数相等:(ⅰ)X-投射维数,(ⅱ)A∩X-投射维数,(ⅲ)B∩X-余分解维数,(ⅳ)BX-余分解维数,(ⅴ)ω-余分解维数,(ⅵ)(B∩X)X-余分解维数;同时上述维数还等于子范畴X的BX-余分解维数和(B∩X)X-余分解维数.对偶版本亦成立.此外,作为一个应用,给出了具有有限相对分解维数的对象的Auslander-Buchweitz逼近性质.其次,构造了两组外三角范畴上的伴随对. 在第三部分中,本文回顾了(n-)余挠对、可解子范畴和余可解子范畴的概念,井借此建立了n-余挠对和余挠对之间的关系.给定C的子范畴U,V,我们证明了以下结果等价:(1)(U,V)是C中的n-余挠对且En+1(U,V)=0;(2)(U,V)是C中的余挠对且U是可解子范畴;(3)(U,V)是C中的余挠对且V是余可解子范畴;(4)(U,V)是C中的n-余挠对且U是可解子范畴;(5)(U,V)是C中的n-余挠对且V是余可解子范畴.然后引入了左(n-)Frobenius对和左(弱)Auslander-Buchweitz关系的概念.设X是C的子范畴.用X∧表示由X中具有有限分解维数的对象构成的子范畴.设(X,ω)是左Frobenius对,我们证明了X∧关于扩张、压缩的余锥、膨胀的锥和直和项封闭.然后我们展示了如何从C的左Frobenius对中构造出余挠对和左(弱)Auslander-Buchweitz关系、从C的左Auslander-Buchweitz关系中构造余挠对以及从C的余挠对中构造左Frobenius对和左(弱)Auslander-Buchweitz关系,井在此基础上得到了如下结果.设A是由C中所有左Frobenius对构成的类,B是由C中所有左弱Auslander-Buchweitz关系构成的类.则我们可以在A和B之间建立如下一一对应关系: Φ:A→B,(X,ω)→(X,ω∧), Ψ:B→A,(A,B)→(A,A∩B).
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