摘要
微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在众多领域都有着广泛的应用，并且因为非线性的方程、模型能更精确地揭示其内在联系以及本质规律，所以非线性微分方程的求解也是当今的研究热点。但是只有一些特殊形式的微分方程才能求出通解，所以微分方程的可解类依然很少，尤其是对于非线性微分方程而言，能求出通解的更是屈指可数。由于微分方程对于实际生活的重要性，探索新的方法扩大微分方程的可解类是十分有必要的。根据弹性的理论知识，本文提出了一种新的微分变换—弹性变换，即由相对变换率诱导出的微分变换，它包括弹性升阶变换和弹性降阶变换，并将它作为一种工具引入到微分方程的求解中，由此得出了一种求解非线性微分方程的新方法——弹性变换法。 本文首先论述了该方法的引入背景：Woods和Sauro认为任何一个可导非零的函数关于其自变量均具有弹性，并得到了一个可用来计算弹性的数学公式。本文通过对弹性的定义、性质等进行研究后，提出了弹性变换法以及实现步骤，揭示了该方法的本质特征：对于某些非线性微分方程，可以通过弹性变换法进行升、降阶，将其转化为可求解的微分方程，从而获得原微分方程的解。作为范例，探讨了将一、三阶非线性微分方程通过升、降阶为二阶线性微分方程并求解，并且研究了相应的初值问题，这也为解决许多的实际工程问题，寻求更贴合实际情况的初值条件做了铺垫。 最后研究结果表明，弹性变换法具有可将某些非线性微分方程转化为可求解的线性微分方程的突出特点，扩大了微分方程的可解类。弹性变换法又分为弹性升阶变换法和弹性降阶变换法：弹性降阶变换可将某些高阶的微分方程降阶为可解的低阶微分方程求解，这种通过降阶来求解微分方程也是以前大家的一种普遍做法；而弹性升阶变换法则可将某些低阶微分方程升阶为可解的高阶微分方程求解，打破了以往习惯性通过降阶来求解微分方程的传统观念，这无疑为微分方程的求解提供了一种新思路。
NETL