摘要
CT图像重建是由穿过物体内部的X射线投影数据重建物体内部信息的技术，理论上被归结为Radon变换的反演。有时，由于实际情况的限制，相对于角度变量的投影数据是有限的，由此产生了有限角图像重建问题。有限角图像重建被归结为有限角Radon变换的反演。代数重建是求解Radon变换离散后的线性方程组。当已知的有限角度范围较小时，有限角Radon变换的理论严重不适定性导致相应的离散线性方程组也是严重不适定的。因此，有限角图像重建是一个非常困难的问题。线性方程组的不适定性是由系数矩阵条件数大引起的。本文研究了一种预条件Landweber迭代格式及其在有限角重建和压缩感知中的应用。主要内容和创新点如下： 1.针对条件数大的线性方程组，我们提出了一种重复加权方法：左乘线性方程组的正规方程一个与其系数矩阵有关的正定对称矩阵且重复该过程多次，并证明了随着加权次数趋于无穷，条件数单调递减且趋于1，相应地，提出了一个预条件Landweber迭代格式，并证明了适当的加权次数可以改进迭代解的数值精度。通过数值模拟验证了提出的方法是有效的； 2.我们给出了重复加权过程中加权参数的选取方法和最大特征值上界的估计，分析了预条件Landweber迭代格式的收敛性；以及提出了结合预条件Landweber迭代格式和AEDS算法的优化重建模型和相应的Rw-AEDS算法，并将其用于有限角图像重建。模拟和真实投影数据的实验结果表明，提出的算法对于已知适当小角度的有限角CT图像重建问题是有效的； 3.在压缩感知中，一个离散稀疏信号的精确恢复要求测量矩阵具有足够小的限制等距常数(restrictedisometryconstant，RIC)。在一定条件下，测量矩阵的条件数越小，则它的RIC越小。我们将提出的重复加权方法作用于原重建方程的正规方程，进而得到了一个与原重建方程等价的重建方程且其系数矩阵有一个更小的RIC，并用于稀疏信号重建。基于不同测量矩阵和恢复算法进行的数值实验表明，等价重建方程的结果优于原重建方程的结果。
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