摘要
拓扑特征是几何形状的重要特征之一,在生物分子分析和材料设计等自然科学和工程领域扮演着重要角色.在几何处理中,基于几何特征的形状表示,分析和建模技术逐渐完善和成熟,然而基于拓扑特征的特征表示,形状分析和建模方法是亟待研究和探索的. 持续同调是计算拓扑学中的重要工具之一.它能提取几何形状中不同尺度和不同维度的拓扑特征,量化地表示这些特征的重要性以区别于噪声特征?并且对数据中的噪声不敏感?可以用于研究几何处理中形状拓扑特征表示,形状分析和分类,形状建模等问题.本文将持续同调应用于几何处理中,分别提出了持续图和持续条码的向量化方法以使用拓扑特征进行形状分析和分类.此外,基于持续同调的拓扑特征表示,提出了一种拓扑可控隐式曲面重建方法,可以在稀疏点云场景下重建具有预期拓扑特征的曲面.具体研究内容包括: ·提出了一种基于B样条函数最小二乘渐近迭代逼近的稳定的持续图向量化方法.首先我们提供了可供用户设计,调整的显著性函数以给出持续图中拓扑特征点对的重要性数值?再从数据拟合的角度,将持续图转化为由定义在持续图坐标区域上的一个持续B样条函数的控制系数生成的向量.在已知B样条次数和节点向量的情况下,所产生的有限维向量编码了持续B样条函数的完整信息.理论上,我们证明了在满足一定条件时,该持续图向量化方法具有关于持续图的1-Wasserstein距离的稳定性.实验说明了该方法对不同参数的设定并不敏感?实际应用时稳定性系数的界值较小.在点云分类应用中,该方法与其他持续图向量化方法相比有更好的表现. ·提出了一种基于Haar基分解持续阶函数的稳定的持续条码向量化方法.该方法将持续条码转化为持续阶函数,再通过一组Haar基分解持续阶函数,从而得到持续条码的向量化表示.理论上,我们证明了在满足一定条件时,该持续条码向量化方法具有关于持续条码的1-Wasserstein距离的稳定性.实践中,引入基于样本外映射(Out-of-samplingmapping)的降维技术将高维的向量表示转为低维向量,从而达到节省模型训练时间并保持分类精度的目的.在多个数据集上的分类精度表明,该方法能得到有效的向量化表示.我们将本方法应用于分类新生成的多孔结构模型数据上,提出了基于拓扑特征的多孔模型分类框架.与其他具有竞争性的向量化方法相比,该方法在多孔结构数据集分类任务中具有更好的分类效果. ·提出了一种基于持续同调的拓扑可控B样条隐式曲面重建方法.已知带点法向的点云和采用持续图表示的先验拓扑信息,通过构造符号距离场,并通过渐近迭代逼近获得该距离场的一个B样条函数表示?再根据拓扑先验信息设计拓扑目标函数,并优化B样条的控制系数?从而提取一个等值面,获得具有预期拓扑结构的B样条隐式曲面.我们根据实践经验总结并提出了针对隐式表示设计持续图相关的拓扑目标函数的设计原则.在稀疏采样点云情形下的实验结果表明,所提出的方法相比于其他对比方法能重建出拓扑符合预期的曲面.最后,我们提出了一些使用该方法编辑形状拓扑的应用.
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