摘要
自然界之中客观存在的许多现象都是非线性的,在科学技术向高速与精密发展的今天,生产实践对于非线性偏微分方程的求解问题也提出了越来越高的要求.经过一代代科研工作者的努力,对于非线性偏微分方程的求解已经建立起较为完善的理论体系.孤子是一种在传播过程中保持形状、速度不变,能量不损耗的特殊波动,它不仅能反映一类稳定的自然现象,也能体现一大类非线性相互作用的特点.齐次平衡法、Jacobi椭圆函数展开法、双线性方法等都极大地扩展了非线性偏微分方程求显式解的范围.本文主要研究的是(2+1)维多耦合Myrzakulov-Lakshmanan-Ⅳ(ML-Ⅳ)方程,利用达布变换方法,结合符号计算和专业数学软件构造方程的孤子解、呼吸子解以及高阶怪波解,并画出其3D图像,以便易于我们对解的形状、性质、意义加以分析.下面就本文所研究的ML-Ⅳ方程的精确解做出简要说明: 1.使用Lax对构造了ML-Ⅳ方程的一次达布变换和推广的N次达布变换,并进行理论证明.其次,利用专业软件绘图并通过调整参数,讨论了单孤子解在初始零解背景下的动态传播特征,模拟了双孤子解的“碰撞”,从理论上对孤子解的动态变化特性进行极限分析,具体阐释了弹性碰撞机理. 2.研究了平面波背景下ML-Ⅳ方程的两种呼吸子解类型.并通过“呼吸子―孤子”状态转换机制,绘制了解的图像对其动力学传播特征加以讨论.获得了如多峰孤子、周期型孤子、W型孤子和反暗孤子等各种非线性激发,并归纳出它们的激发条件,进而分析、概括出解的性质及特点. 3.在非零背景下获得了ML-Ⅳ方程的高阶怪波解,利用符号计算和专业软件调整参数来探讨怪波解的动态传播特征,得到了许多有趣的怪波结构,对它凭空出现又突然消失的特性也有了更好的理解.
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