摘要
数论中的很多问题都是围绕整系数多项式展开的，而关于整系数序列连续项乘积的高次幂性质就是其中一个方面.令n,Q,k∈Z*且k至多包含t个不同的奇素因子,f(n),g(n)nh(n)∈Z[n],记Sn=Πnx=1(x2+Q),Cn=Πhx=g(xk+hk)和Dn=Πhx=g(xk-hk).对Sn,Cn和Dn的高次幂性质进行分析，证明了 1.存在某个与Q相关的正整数NQ,当n≥NQ时，Sn不是完全平方数. 2.当k为奇数，t≤5且R∈[0.5,0.89963]时，若f+h≥max{106,(g+h-1)/R},则Cn不是完全方幂. 3.若f-h≥max{106,(g-h-1)/R,h/R},当2/k,t≤5且R∈[0.5,0.89963]时，或若f+h≥max{106,(g+h-1)/R,(f-h)/R},当2||k,t≤5且R∈(0,0.89963]时，或若f+h≥max{106,(g+h-1)/R,(f-h)/R},当4|k,t≤2且R∈(0,0.88997]时，Dn不是完全方幂. 此外，又以Q=2,5为例，完成了Sn是否为完全平方数的完整讨论，并列表给出了1≤Q≤100时Sn中所有的完全平方数；还以R=2/3为例，将Cn和Dn完全方幂结论中的下界106优化到最佳.
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