摘要
图谱理论是代数图论的重要组成部分, 它在其他相关学科有着极为重要的应用. 谱极值问题是近年来图谱理论研究的热点问题, 学者们更热衷于研究图的谱半径达到最大或最小时所对应的极图. 许多学者最先研究图的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的相关性质,后来许多学者开始探索图的无符号拉普拉斯矩阵的相关性质. 而在2017年, Nikiforov提出Aα-矩阵的概念后, 学者们纷纷把目光转移到利用图的Aα-矩阵来研究图的一系列相关性质. 无符号拉普拉斯矩阵是Aα-矩阵当α=1/2时的一种特殊情形. 本文通过分析图的结构来探讨几类图的Aα-谱极值问题. 主要内容如下: 第一章, 首先介绍本文的研究背景及其作用, 然后给出本文中涉及的相关概念和符号, 最后简要介绍本文的研究现状及思路. 第二章, 研究单圈图的Aα-谱刻画问题. 首先利用图的Aα-谱的边扰动, 探究其Aα-谱半径达到极值的情形, 其次研究单圈图的Aα-分离度的范围, 并刻画其Aα-分离度达到最大时所对应的极图. 第三章, 利用图的结构性质研究哈密尔顿性的谱极值问题. 首先, 利用图的闭包运算, 将图稠密化, 这样补图的结构就变的相对简单, 也较容易找到图的度数与谱参数的关系, 继而得出具有较大最小度的图具有哈密尔顿性的无符号拉普拉斯谱充分条件. 最后探究用Aα-谱半径刻画图的哈密尔顿性. 第四章, 总结本文的主要内容, 展望后期可进一步深入研究的内容.
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