摘要
粘弹性材料兼具弹性固体和粘性流体的特性，广泛应用于工程领域。目前，有学者通过各种实验对粘弹性材料的物理性能进行了深入测试研究，并且提出利用分数阶模型来描述材料的力学性质。实验结果表明，与整数阶模型相比，分数阶模型具有更好的灵敏度和更高的精度，更适合于材料性能的数值模拟。同时，对于变分数阶模型的研究不断涌现。本文对粘弹性材料结构的控制方程展开深入研究，分别建立粘弹性柱和粘弹性板的分数阶和变分数阶偏微分控制方程。通过Legendre函数的定义，推导得到移位Legendre多项式和Legendre小波，并利用这两种函数直接在时域对粘弹性材料进行数值分析。 首先，介绍了分数阶微分理论和Legendre小波的相关知识。建立了粘弹性柱的变分数阶偏微分控制方程，并根据Legendre小波的定义和函数逼近理论对粘弹性柱的位移函数进行逼近。运用配点法离散变量，在时域内得到粘弹性柱的位移数值解。收敛性分析和无量纲方程证明了该算法的准确性和有效性。对均布荷载和简谐荷载下粘弹性柱的位移变化情况进行了分析，并且考虑了截面形状对粘弹性柱位移的影响。 其次，利用分数阶Kelvin-Voigt本构模型在二维空间中描述板的粘弹性行为，建立了具有三个独立变量的控制方程。通过推导移位Legendre多项式的整数阶和分数阶微分算子矩阵将控制方程转化为矩阵乘积的形式高效求解。此外，还进行收敛性分析和无量纲方程的计算。研究了粘弹性板在不同时间和荷载下的位移解，讨论了阻尼系数对粘弹性板振动幅值的影响。 最后，对变分数阶模型下的粘弹性变厚度板进行数值分析。考虑的板材厚度是可变的，包括线性、二次和三次变化。研究了两种不同材料的粘弹性板在简谐横向荷载作用下的位移数值解。应用移位Legendre多项式算法在时域内得到变厚度板位移、弯矩和应力的数值结果。 本文使用少参数模型对粘弹性材料特性进行模拟，并且为粘弹性材料结构控制方程的计算提供了更为简单和精确的数值方法。
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