摘要
分数阶微分(FOD)系统有丰富的理论内涵和深刻的物理背景，其快速数值算法研究是模型应用的关键环节，具有重要的科学意义和工程应用价值。为适应控制科学中分数阶微分系统快速求解的需要，本文主要研究三类经典分数阶微分系统的并行差分方法及基于群智能算法的分数阶PID (FOPID)控制器设计。 针对FOD系统的长时间历程计算量大的难题，研究三类经典FOD系统求解的并行新算法。新算法是基于经典差分格式的并行化，同时兼顾计算的稳定性、准确性和并行性;新算法便于在多种类型的并行机上使用。针对FOPID控制器设计和算法推导问题，改进经典群智能算法收敛速度慢或计算精度低的缺陷，使其充分发挥全局搜索和局部挖掘的优势，高效完成FOPID控制器的设计。 学位论文主要工作有: (1)研究时间分数阶反常扩散(TFAD)系统，首先针对TFAD方程，构造分组显式(GE)差分格式和交替分段C-N (ASC-N)格式。其次针对二维TFAD方程，构造无条件稳定的交替分带C-N (ABdC-N)格式。最后，研究多项TFAD方程，构造交替分段纯显-隐和隐-显(PASE-I和PASI-E)格式。采用数学归纳法结合矩阵特征值法，对并行格式进行数值分析;数值试验结果表明与经典串行差分格式相比，本文并行算法的计算效率(时间)可节省80％以上。 (2)研究分数阶扩散波(TFDW)系统，分别对带阻尼TFDW和多项TFDW两类方程构造其交替分段ASC-N并行差分格式，采用两种不同的能量估计法和数学归纳法分析可知ASC-N格式均为无条件稳定的，其收敛阶为O(τ3-α+h2)。数值试验表明，随着空间网格剖分的加密ASC-N格式的并行计算特性将越发明显。 (3)针对时间分数阶电报(TFT)方程，构造其PASE-I和PASI-E并行本性差分算法。通过矩阵特征值法结合数学归纳法分析可知，该类格式为无条件稳定的，其收敛阶为O(τ3-α+h2)。数值试验表明，当空间网格点数大于800时，PASE-I和PASI-E格式可达到线性加速比;与串行差分格式相比可节省CPU时间80％左右。通过交替差分方法，使得PASE-I和PASI-E格式同时继承显格式简单易并行和隐格式的绝对稳定的优点。 (4) FOPID控制器的设计是一个复杂非线性最优问题，首先，提出基于自适应布谷鸟搜索(CS)算法的FOPID控制器参数整定算法。为改进经典CS算法的收敛速度、计算精度，充分发挥全局搜索和局部挖掘两者各自的优势，采用基于系统误差的自适应步长策略，仿真实验证实了自适应CS算法对求解FOPID设计问题的有效性。其次，提出一种基于Lévy飞行机制和差分进化策略的改进蝙蝠算法FOPID控制器参数整定方法;仿真实验表明改进蝙蝠算法可以高效完成FOPID控制器的设计。
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