摘要
本文主要讨论了非散度型椭圆方程和一般椭圆型方程系数识别反问题.由于问题是不适定的,故而通过Tikhonov正则化方法和最优控制方法,消除反问题的不适定性并获得识别问题的最优解.两种方法侧重点有所不同,Tikhonov正则化侧重讨论正则化解的收敛性,而最优控制方法则重点关注如何控制问题中的不确定因素,至于正则化参数的选择则具有较大的自由度. 本论文的主要内容如下: 第一章主要介绍了椭圆型方程反问题的研究背景,相关的研究现状以及本文每章所做的主要工作. 第二章重点探究非散度型椭圆方程系数识别问题Tikhonov正则化解的收敛速度,运用了Tikhonov正则化方法把原问题转化为最优化问题,并建立了相应的泛函.首先根据Lax-Milgram引理,给出了变分等式,并利用变分等式得到解的唯一性;其次,基于正问题的先验估计以及附加的源条件,获得了正则化解的收敛速度. 第三章重点探究了一般椭圆方程在给定观测值时的系数识别反问题,根据最优控制理论,把问题转化为一个最优化问题,并证明了控制泛函最小值的存在性和必要条件.又因为正则化参数适当大,证明了最优解的唯一性. 第四章总结了本文所做的工作,并对后续工作进行展望.在以后的工作中,首先要研究控制泛函的凸性,并且源条件有待进一步讨论.其次,考虑用数值算法验证本文结论的可靠性.
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