摘要
分数阶微分方程在力学、生物学、化学、信号处理与系统识别等领域有着广泛的应用。分数阶微分算子具有非局部性，可以更好地反映系统函数发展的历史依赖过程，因而使得分数阶微积分在刻画具有记忆和遗传性质的材料这方面有一定的优势，这也使得分数阶微分方程的精确解求解困难，因此构造分数阶微分方程的数值算法显得尤为重要。本文研究非线性分数阶微分方程的几类数值算法，对数值算法的收敛性、稳定性做出分析。论文由以下几部分组成： (1)介绍分数阶微分方程的研究背景和意义，回顾分数阶微分方程数值方法的发展过程以及研究现状，介绍本文的研究动机，概述本文的主要研究内容和创新点，并介绍预备知识。 (2)研究非线性延迟分数阶微分方程的数值方法。分别基于L1紧致有限差分方法和分数阶Crank-Nicolson-Galerkin有限元方法构造两种线性化的全离散数值格式。针对构造的两种数值格式，分别提出相应的分数阶Gr?nwall不等式，进而证明数值格式的可解性、收敛性和稳定性。最后通过数值实验说明这两种数值格式的有效性。 (3)研究非线性分数阶微分方程的高阶block-by-block方法。首先在解连续条件下将非线性分数阶微分方程转化成非线性分数阶Volterra类型的积分方程。然后证明先前的block-by-block数值格式在非光滑假设条件下的收敛阶为α阶。为了提高数值格式在非光滑假设条件下的收敛精度，引入变量替换方法，进而构造高阶的block-by-block数值格式，并证明该数值格式的收敛阶为3+α阶。最后通过数值实验对做变量替换前后得到的block-by-block数值格式的误差和收敛阶作对比，实验结果验证了理论结果。 (4)研究非线性分数阶微分方程的Grünwald-Letnikov方法。基于Grünwald-Letnikov方法和有限差分方法构造全离散数值格式，对全离散数值格式做逐层误差估计，进而证明数值格式的收敛性。该数值格式在初始时刻附近的收敛阶为α阶，远离初始时刻的收敛阶为1阶。最后通过数值实验说明数值格式的有效性。 (5)对本文工作做总结，概述本文的主要内容，并展望今后的工作。
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