摘要
肿瘤的扩散和发展与细胞的扩散和聚集有着十分紧密的联系, 这一过程主要与趋化机制和趋触机制有关. 在描述这一现象的非线性偏微分方程组中, 解的空间行为——共存或消亡, 一直都是微分方程界研究的热点问题. 近年来, 人们对具有竞争相互作用的趋化模型表现出极大的兴趣. 相对于单细胞趋化模型, 具竞争作用的多细胞趋化模型的动力学行为更加丰富. 特别地, 强竞争作用下, 系统解的支集渐近分离, 这样就产生了一个自由边界问题. 由强相互作用导致相分离现象以及由此产生的自由边界问题是近年来偏微分方程领域的前沿问题之一, 它引起许多著名学者的关注, 如沃尔夫奖以及阿贝尔奖获得者美国数学家 L. A. Caffarelli, 我国著名数学家林芳华, 澳大利亚科学院院士E. N. Dancer以及意大利著名数学家 S. Terracini 等. 关于这些问题的研究一方面促进了偏微分方程理论的发展, 另一方面其研究成果对相应的生物学现象作出了科学的解释并具有一定的指导性作用. 本文我们主要研究一类具有logistic型运动机制的趋化模型解的整体存在性以及渐近行为, 具体内容由以下四章构成： 第一章, 介绍与本文研究问题相关的背景及发展概况. 第二章, 我们研究了一类具分数次扩散以及logistic项的抛物——椭圆模型, 证明了该模型古典解的整体存在性以及唯一性. 第三章, 我们研究了一类带 logistic 项的抛物—抛物—椭圆模型, 证明了强竞争作用下, 系统解的支集渐近分离, 并将Terracini等的blow up方法推广到趋化模型, 证明了系统解关于竞争参数的一致界估计. 第四章, 我们对全文的工作进行了简要总结，并对今后的研究方向作了进一步展望.
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