摘要
本文中我们主要考虑了时间分数阶扩散方程正问题和反问题的理论及数值方法研究:在分级网格上用两种L1方法数值计算时间分数阶Feynman-Kac方程;在分级网格上用两种L2?1σ方法数值计算时间分数阶Feynman-Kac方程;多项时间分数阶扩散方程中的依赖空间变量的源项函数辨识问题;利用非线性条件修复多项时间分数阶扩散方程中的依赖时间变量的势函数. 本文的第一部分我们主要考虑了两类L1方法数值计算时间分数阶Feynman-Kac方程, 其基于分段线性插值近似一阶时间导数. 在分级网格下, 通过隐式L1方法收敛阶下降至O(Tmin{1,rα}).这促使我们设计隐式-显式L1方法,这样设计的格式在分级网格下可以达到最优收敛阶O(Tmin{2?α,rα}).我们给出了两种L1方法稳定性和收敛性的证明.最后通过一维和二维算例验证了所提出方法的可行性和有效性. 本文的第二部分我们主要考虑了两类L2?1σ方法数值计算时间分数阶Feynman-Kac方程,其基于分段二次插值近似一阶时间导数. 我们设计的隐式L2?1σ方法和修正的隐式L2?1σ方法,它们的收敛阶是O(Tmin{1,rα}).这就促使我们设计另一个修正的隐式L2?1σ方法,这样设计的格式在分级网格上可以达到最优收敛阶O(Tmin{2?α,rα}).我们给出了修正的隐式L2?1σ方法的稳定性分析.最后通过二维数值算例验证了所提方法的可行性和有效性. 本文的第三部分主要考虑了从带噪声的终端数据重构多项时间分数阶扩散方程中的依赖空间变量的源项. 首先,利用Caputo导数算子和椭圆算子的性质,我们证明了正问题的解存在性和唯一性.其次,利用Caputo导数算子的性质和傅里叶变换,我们证明了依赖空间变量源项辨识问题的唯一性.最后我们运用非定常迭代Tikhonov正则化方法结合有限维近似数值求解,通过四个不同数值例子验证了所提出的数值方法是可行的和有效的. 本文的第四部分我们主要致力于了用空间区域上的积分测量数据重构多项时间分数阶扩散方程中的依赖时间变量的势函数.首先,我们利用不动点定理,证明了正问题的解存在性, 唯一性和正则性. 其次,利用Caputo导数的性质我们证明了反问题的唯一性. 最后我们用Levenberg-Marquardt方法进行数值计算势函数, 四个数值例子表明我们提出的数值方法是可行的和有效的.
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