摘要
谱刻画主要是通过图的谱性质来刻画图的结构性质，其中谱确定问题是谱刻画的一个难题，也是图谱理论长期关注的问题.借助图的邻接谱，拉普拉斯谱或无符号拉普拉斯谱等来研究图的谱确定性，目前已取得很大进展，但仍有大量问题需要解决，且需要引入新的工具来刻画图的结构. 幂超图是由简单图的边扩张形成的超图.两个图同构当且仅当它们的幂超图同构.鉴于此，卜长江等人提出了简单图的m-阶谱以及高阶谱确定的概念.设G是一个简单图，Gm是G的m-次幂超图.称G的邻接矩阵的谱为G的邻接谱，称Gm的邻接张量的谱为G的m-阶谱.对一个图H，如果Hm和Gm对所有的m都高阶同谱蕴含着H和G同构，则称图G是高阶谱确定的（简称为DHS）.由于Gm的谱与G的符号子图的谱息息相关，相比于邻接谱，高阶谱能刻画更多图的结构信息，一个图更可能是高阶谱确定的.本文主要研究了单圈图的高阶谱性质，通过对单圈幂超图的迹的刻画，给出了高阶同谱单圈图的结构性质，证明了一些由高阶谱确定的单圈图. 本文的第一章首先介绍了谱图理论的研究背景，其次介绍了图与超图的基本概念和记号,最后介绍了所要研究的问题及进展，给出了本文所取得的主要结果. 本文的第二章研究了幂超图的迹公式，给出了超树以及单圈幂超图的迹的新表示.同时,我们还得到了给定围长的一般幂超图的迹表示. 本文的第三章利用幂超图的迹公式，刻画了简单图的结构性质.在3.1节,我们得到了给定围长的一般的简单图的高阶同谱不变量，如长为2的路的个数，长为3的圈的个数，长为4的圈的个数以及给定少量边数的任一子树个数.在3.2节，我们得到了单圈图的高阶同谱不变量，如单圈图的围长，到圈上距离为1的圈外点数以及给定少量边数的任一子树个数.同时对于围长为3的高阶同谱单圈图U1和U2,我们给出了U1和U2的含三条边的所有子树个数的等式，对于围长为4的高阶同谱单圈图U1和U2,我们给出了U1和U2的含四条边的所有子树个数的等式.利用这些高阶同谱不变量，我们在3.3节证明了两类单圈图的高阶谱确定性，在3.4节构造了两类同谱但不是高阶同谱的图对. 本文的第四章对全文进行总结并提出进一步研究的展望.
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