摘要
研究孤子方程的可积性能够很好地描述通讯物理、凝聚态物理、流体力学和海洋工程等领域的物理现象。本文利用Bell多项式及相关理论和Hirota双线性方法，从不同角度研究了两类孤子方程的可积性问题。首先简述了本文的研究背景、国内外研究现状及论文的主要工作。其次介绍了Hirota双线性导数和Bell多项式及相关理论，并通过具体例子介绍了对非线性偏微分方程进行双线性化的方法。 本文主要研究内容如下： 一、以Bell多项式理论为基础，研究了(2+1)维广义KPB方程的可积性。首先基于方程的双线性形式，在某种限制条件下，求得该方程的双线性B?cklund变换；然后对B?cklund变换线性化，获得该方程的Lax对；最后将级数展开式代入计算，得到该方程的无穷守恒律。 二、运用Hirota双线性算子和Bell多项式理论，研究了(3+1)维广义浅水波方程的可积性。首先获得方程带有关于变量y和z的函数φ(y,z)的双线性形式；其次利用Hirota双线性方法，求得该方程的孤子解，通过系数的不同取值，得到单孤子、双孤子和三孤子解的图像，并通过对图像进行分析，探讨孤子间的相互作用；然后在某种约束条件下，求得方程的双线性B?cklund变换；对B?cklund变换线性化，获得该方程的Lax对；将级数展开式代入方程中，通过运算得到该方程的无穷守恒律。
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