摘要
Nikiforov教授在2017年定义了一类新的图矩阵，疋 -矩阵. 此后疋-谱的研究成为了图谱理论研究的热点之一.这类问题的核心是在给定图的某些参数的前提下，计算图的谱半径的极值并刻 1叫对应极图的结构，进而研究图的结构参数与图的尤-谱参数之间的内在联系. 一方面，本文将利用各种图变换，借助函数构造、W数极值等分析方法，Perron-向景、双向景法等代数方法以及数学妇纳法，解决了两 个 -谱肀径的问题. 另一方面，本文还将研究混图的正、负惯性指数与艽底图的正、负惯性指数之间的联系. 本文分为五章. 在第一章中，我们给出了本文用到的图论中的基本概念和定义，研究背景，国内外的研究现状以及我们的主要研究成果. 在第二章中，我们利用双向景法解决了一个Bmaldi-Hoffnmn-型问题.主要有下面二个结果： ? 确定了当Q!G[^,1)时，边数为m 进径至少为d的连通图中尤-谱半径达到最大的图. 这个结來推广了 Li 和 Qin [Linear Algebra Appl., 2021, 628: 29-41],以及 Lou, Guo 和 Wang [Discrete M ath., 2021, 344: 112533]中的结來. ? 确定了当a G [|, 1)时，边数为m,直径恰好为d的连迎图中疋-谱半径达到最大的图. ? 对边数为m gt; 2,a G[|,1]的图，给 出 -谱半径的一个上界，并刻I叫对应的极图.这个上界推广了 Zlmi, Xue 和 Lou [Linear Algebra Appl., 2020， 603:154-165]中的上界. 在第二章中，我们对边数为m 直径（至少）为 d的连通图，按照-谱肀径的人小进行排序.有二个结果： ? 确定了当m2d + 628，ae[|,1)时，边数为m 进径（至少）是 d的连通图中具有第二大到第U」+ 1大的谱半径的图.这个结果推广了 Jia，L i和Wang [Linear Algebra Appl., 2022, 652: 18-36]中的结來. ? 确定了当m2d + 628，ae[|,1)时，进径 （至少）是 d 的n 阶树中九_-谱半径前|_|」大的树. 这个结來推广了 Guo [Linear Algebra Appl., 2006, 419:618-629]中的结果. ? 确定了当m2d + 62S，cK [|，1)时，边数为m 直径（至少）为 d且含有圈的连通图中谱半径最人的图. 在第四章中，我们建立了混图Dg 和它的底图G 的惯性指数差的两个不等式，并利用缩圈的方法，刻Pi了边界可达时等孑成立的充要条件. 主要有以下两个结果. ? —c.(G) ^ p(Dg)—p(G) ^ c(G), —c(G) ^ n(Dg)—n(G) ^ c(G).其-中p(G) (n(G))是 G 的正(负)惯性指数，c(G)是 G 的圈空间的维数. ? 刻M 了四个边界可达时，即p(Dg)—p(G) = —c(G), p(Dg)—p(G) = c(G), n(DG)—n(G) = -c(G ), n(DG)—n(G) = c(G)成立的充要条件. 在第五章中，我们总结本文的主要研究内荇，提出进一步研究的问题.
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