摘要
图像修复一直是数字图像处理领域的重点研究对象，因为它在文物修复，老照片修复，医疗成像等领域应用广泛。图像修复有多种模型算法，它们的本质都是利用图像未破损区的背景信息并应用某种算法对破损区进行修复。利用偏微分方程尤其是热传导方程对图像进行修复是其中一种修复方法。其利用破损区的边界信息，应用偏微分方程将边界像素值扩散进破损区从而达到修复目的。传统意义上，求解热传导方程需要用到有限差分的方法。然而对于较高分辨率的图像，该方法占用内存较大且运算速度较慢。针对这种问题，本文提出了基于热传导方程的边界元算法，此方法只需利用破损区边界点的像素值进行插值即可得到破损区内部所有点的值。由于处理图像时方程的边界条件是狄里克莱边界条件，因此需要求解各边界单元方向导数。 本文从实空间上的边界元法出发，得出了二维非稳态热传导方程的显式表达形式，为了处理边界元方程右端的体积分项，我们得出了带有参变量的数值积分的快速批处理计算方法，并应用卷积定理，快速傅里叶变换和逆变换加快了求解速度。我们还将实空间上的热传导方程进行拉普拉斯变换，推导出了拉氏空间上热传导方程的边界积分方程，将实空间上的含对时间积分的积分项转换为在拉氏空间上的只对二维空间积分的积分项，对在拉氏空间上计算得出的数值结果进行Stehfest反演即可得到实空间上的数值结果。此方法进一步加快了求解速度，使得内存占用率更小。最后我们给出了图像修复的实例并加以分析得出结论。
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